곱의 미분법 f(x)g(x) 미분 하는 방법, 증명


미분 가능한 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다고 합시다. 이 두함수의 곱 $f(x)g(x)$를 생각합시다. $f(x)g(x)$의 미분은 무엇일까요? 이번 글에서는 두 함수의 곱으로 이루어진 함수 $f(x)g(x)$의 미분법인 곱의 미분법에 대해 알아보겠습니다. 그리고 곱의 미분법을 증명하는 방법까지 알아보도록 하겠습니다.

곱의 미분법 $f(x)g(x)$의 미분은?

미분가능한 두함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있다고 합시다. $f(x)g(x)$의 미분은 어떻게 될까요? 결론부터 말하면 아래와 같이 나옵니다.

$$[(f(x)g(x))]^\prime = f^\prime (x) g(x) + f(x) g^\prime(x)$$

곱의 미분법 증명

곱의 미분법 증명 해보겠습니다. 곱함수의 미분을 구해서는 아래의 극한을 구해야 되죠.

$$\lim_{h\to0} \left( \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \right)$$

그런데, 여기서 $f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)$를 바꿔보도록 하겠습니다. 어떻게 바꿀 수 있을까요? 아래처럼 바꿔보도록 하죠.

$$f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) – f(x)g(x)$$

위의 사실을 미분의 정의에 집어넣으면 아래와 같이 변합니다.

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x)}{h} &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{[f(x+h) – f(x)]g(x+h)}{h} + \frac{f(x)[g(x+h) – g(x)]}{h} \right) \\
&= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{align*}

곱의 미분법 결론

$$[(f(x)g(x))]^\prime = f^\prime (x) g(x) + f(x) g^\prime(x)$$

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