기하분포를 이용하여 베르누이 시행에서 성공이 나올때까지 실패한 를 모델링 할 수 있다. 기하분포의 확률밀도함수()에 대해서는 알아봤었고 평균에 대해서도 이글()에서 알 수 있다. 이번 글에서는 기하 분포의 분산을 구해보도록 하자.!
기하분포의 분산 구하기
기하분포의 분산을 구해보도록 하자. 이산확률변수인 기하분포 확률변수와 관련된 함수의 기대값을 구하기 위해서는 확률밀도함수를 알아야 한다.
기하분포의 확률밀도함수
$$p_X(k) = p(1-p)^k , k =0,1,2,3,…$$
확률변수의 분산 구하기
확률변수의 분산을 구하기 위해서 여러 방법이 있지만 다음과 같이 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 빼면 구할 수 있다. $$Var(X) = E[X^2] – E[X]^2$$
$E[X]$는 이미 구해 놓았기 때문에 $E[X^2]$만 구하면 된다.
기하분포의 $E[X^2]$ 구하기
확률변수의 분산을 구하기 위해 $E[X^2]$을 구하는 것이 편하다. 계산 상의 이유로 $E[X(X-1)]$를 먼저 구해보도록 하겠습니다. 중간에 미분 하는 부분에만 생각이 필요하고 나머지는 쉬울것이다.
$$\begin{align}E[X(X-1)] &= \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) p_X(k)\\ &= \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) p_X(k)\\ &=\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)p(1-p)^k \\ &=p(1-p)^{2} \frac{d^2}{dp^2} \sum_{k=0}^{\infty} (1-p)^k\\ & = p(1-p)^{2} \frac{d^2}{dp^2} \frac{1}{p} &= \frac{2(1-p)^2}{p^2}\end{align}$$
분산 구하기
위에서 구한 결과를 통해 분산을 구할 수 있습니다. 계산 중간에 기하분포의 평균이 있었는데요.
$$Var(X) = E[X(X-1)] + E[X] + E[X]^2 = \frac{1-p}{p^2}$$