기하 브라운 운동 (geometric brownian motion) 모델에 대해서 알아보자. 줄여서 GBM 모델이라고 한다. 블랙 숄즈 모형 (Black-Scholes model)에서 자산 가격의 변화를 나타내는데 쓰이곤 한다. 이번 글에서는 기하 브라운 운동 줄여서 GBM (Geometric Brownian Motion)에 대해 수식으로 쓰고 분석해보도록 하자.
GBM 이란?
stochastic process $X_t$가 아래와 같은 SDE로 표현하는 모형을 GBM 이라고 한다.
$$dx = \mu x dt + \sigma x dw$$
해석을 해보면 $x$의 변화량은 $x$와 $\mu$의 곱에 대해 결정나는데, $\sigma x$만큼의 변동성이 있다는 말이다.
고럼 GBM 은 왜 사용될까?
GBM에 대하여 closed form solution 이 존재하기 때문이다. 정리부터 해보면 GBM의 closed form은 아래와 같이 표현된다.
$$X_t = X_0 \exp \left( \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+ \sigma w_t \right)$$
브라우니안 모션 $w$가 지수에 왔기 때문에 기하 브라우니안 운동이라고 부르는것 같다.
GBM의 closed form 증명 방법
GBM의 closed form 증명 방법에 대해 알아보자. 함수 $\phi(x,t)=\ln x$라 하자. Ito lemma에 의해 다음의 식을 만족한다.
\begin{align}
d\ln x&= \frac{1}{x}dx -\frac{1}{2} \frac{1}{x^2} dx dx\\
&= \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)dt + \sigma dw\\
\end{align}
이것을 적분 형태로 바꿔쓰면 아래와 같다.
\begin{align}
\ln X_t – \ln X_0 &= \int_{0}^{t} \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)ds + \int_0^t \sigma d w_s\\
& = \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)t + \sigma w_t
\end{align}
이것을 정리하면 아래와 같은 식이 유도된다.
$$X_t = X_0 \exp \left( \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+ \sigma w_t \right)$$
결국엔 GBM 모델을 구성하는 stochastic process 는 로그 정규 분포 꼴을 따른다는 것을 알 수 있고 이를 이용하면 여러가지 계산을 할 수 있다.!