다차원 이토 적분 (Multi dimensional Ito integration)

다차원 이토적분에 대해 알아보겠습니다.

다차원 이토적분에 대해 알아보겠습니다. 일차원에 대한 이토적분 (Ito integration)에 대해서는 지난 글 에서 알아봤습니다. 이제 다변수 stochastic process 에 대한 이토 적분을 알아보겠습니다.

다차원 이토적분 (Multi dimensional Ito integration)

다차원 이토적분에 대해 알아보겠습니다. 다차원 이토적분은 다차원 위너프로세스에 대해 정의됩니다.

다차원 위너 프로세스 (Multi dimensional Wiener process)

아래와 같이 다차원 위너프로세스가 있다고 정의합시다. 그러면 개개의 위너프로세스 \mathbf{w}_t 에 대하여 일변수 이토 적분이 잘 정의 된다는 것을 알고 있죠. 이점을 이용해서 다변수 이토 적분에 대해 정의하겠습니다.

\mathbf{w}_t = (w^1_t,...,w^d_t)

다차원 랜덤프로세스 (Multi dimensional Stochastic process)

만약에 랜덤프로세스 \mathbf{L}_t 가 있다고 합시다. 여기서 \mathbf{L}_t 의 크기는 K \times D 라고 합시다. 그러면 개개의 원소는 L_t^{ij} 라고 표현가능합니다. 이 때 \mathbf{L}_t \mathbf{w}_t 에 대한 이토적분은 어떻게 정의될까요?

다차원 이토적분 정의 (Definition of Multi dimensional Ito integration)

아주 간단히 정의됩니다. 마치 행렬과 벡터를 곱하듯이 정의가됩니다. 기호로는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

\int_{0}^t \mathbf{L}_s ds

K 차원의 벡터로써 정의되는데요. \int_{0}^t \mathbf{L}_s ds 의 각원소는 아래와 같이 정의됩니다.

\left[\int_{0}^t \mathbf{L}_s ds\right]_i  = \sum_{j=1}^d \int_0^t L_s^{ij} dw_s^j

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