이번 글에서는 신호 및 시스템, 디지털 신호 처리를 공부하면서 맨날 보는 신호 중의 하나인 단위 계단 신호 $u[n]$의 푸리에 변환을 구해보도록 하겠습니다. 푸리에 변환의 몇가지 성질을 이용하면 구할 수 있으니 한번 쭉 따라가 보도로고 하죠.
단위 계단(Unit Step)이란?
$$u[n] = \begin{cases}1 &n\geq0 \\ 0 &n<0 \end{cases}$$
이제 위 신호의 푸리에 변환을 구해보도록 하겠습니다. $u[n]$을 다음과 같이 써보면 어떻게 풀지 보입니다.
$$ u[n] = \underbrace{\frac{1}{2}((u[n]+u^* [-n]))}_\text{even part} +\underbrace{\frac{1}{2}((u[n]-u^* [-n]))}_\text{odd part}$$
신호를 우선 even part, odd part로 나누었습니다. 각각의 신호를 계산해보면 다음과 같이 나옵니다.
Even part $\frac{1}{2}((u[n]+u^* [-n]))=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \delta[n]$
Odd part $\frac{1}{2}((u[n]-u^* [-n])) = u[n] – \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \delta[n]$
Odd part를 푸리에 변환 하면 푸리에 변환의 성질에 의하여 $U(e^{j\omega})$의 허수 부분이 나옵니다.
$$j Im(U(e^{j\omega})) = U(e^{j\omega}) – \pi \sum_{r=-\infty}^{\infty}\delta(\omega – 2\pi r) – \frac{1}{2} \tag{1}\label{1}$$
$\delta[n] = u[n] – u[n-1]$라는 사실을 사용하면 다음의 관계를 유도할 수 있습니다.
$$ 1 = (1-e^{-j\omega})U(e^{j\omega})$$
위와 같은 사실을 사용하여 다음과 같은 관계식을 만들어 봅시다.
$$U(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-e^{-j\omega}} + G(\omega) \tag{2}\label{2}$$
식 \ref{2}를 변형하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$U(e^{j\omega}) = \frac{1}{2j} \frac{ \cos\frac{\omega}{2}}{\sin \omega} + \frac{1}{2} + G(\omega) \tag{3}\label{3}$$
\ref{3}과 \ref{2}를 실수부와 허수부를 비교하면 $G(\omega) = \pi \sum_{r=-\infty}^{\infty} \delta(\omega – 2\pi r)$임을 알 수 있으며 아래와 같이 u[n]의 푸리에 변환을 구할 수 있습니다.
단위 계단 함수의 푸리에 변환
$$U(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-e^{-j\omega}} + G(\omega)$$
풀다보니 오류가 있는데요 어디서 오류가 발생했는지 아시는 분은 답글을 남겨주세요.