이번에는 단위 임펄스 응답 (unit impulse response)에 대해 알아보도록 하겠습니다. 단위 임펄스 함수에 대해는 알고계신가요?그리고 LTI 시스템에 대해 알고 계신가요? 단위 임펄스 응답은 단위 임펄스 함수와 단위 임펄스 응답과 관련있으니 단위 임펄스 함수 LTI 시스템에 대해 알고 계셔야합니다. 일단 단위 임펄스 함수와 LTI시스템에 대해 먼저 보고 오세요.
단위 임펄스 응답 (unit impulse response)의 정의
단위 임펄스 (unit impulse response) $\delta[n]$가 있고 LTI 시스템 $T$가 있다고 합시다. 단위 임펄스 응답 (unit impulse response)은 단위 임펄스 함수 $\delta[n]$을 시스템 $T$입력으로 넣었을 때 나오는 출력을 의미합니다. 기호로는 $h$를 주로 씁니다.
$$h[n] = T(\delta[n]) \tag{단위임펄스응답}\label{단위임펄스응답}$$
단위 임펄스 응답 (unit impulse response)이 중요한 이유
단위 임펄스 응답 (unit impulse response)이 왜 중요할까요? 이 단위 임펄스 응답 (unit impulse response)에 의해 LTI 시스템의 출력이 모두 정해지기 때문입니다. 왜 그런지를 살펴보기전에 임의의 입력신호$x[n]$은 아래와 같이 단위 임펄스 함수와의 컨볼루션으로 구성됨을 알수 있습니다.
$$x[n] = \sum_{m} x[m]\delta[n-m]$$
시스템 $T$가 LTI 시스템임을 이용하면 출력 $y[n]$은 다음과 같이 표현됩니다.
$$y[n] = \sum_{m} x[m] T(\delta[n-m]) = \sum_{m} x[m] h[n-m]$$
위의 식을 유도할때 첫번째에서 T가 선형임을 이용했고 두번째에서 T가 시불변임을 이용하였습니다.
LTI 시스템은 단위 임펄스 응답에 의해 결정됨을 알 수 있습니다. 단위 임펄스 응답만 알면 LTI 시스템을 알고 LTI 시스템을 알면 단위 임펄스 응답을 알수 있죠.!