신호 $x[n]$을 분석하기 위한 수단으로 푸리에 변환(Fourier Transformation)이 있다. 시간에서 정의된 신호를 주파수의 관점에서 분석하기 위해 푸리에 변환을 사용한다. 이번글에서는 이산 신호$x[n]$에 대하여 푸리에 변환의 정의를 살펴보고 어떤 의미를 가지는지 살펴보도록 한다.
푸리에 변환(Fourier Transformation)의 정의
신호 $x[n]$의 푸리에 변환은 아래와 같이 정의된다.
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-jk\omega} \tag{1}\label{1}$$
푸리에 변환의 정의 (\ref{1}) 자체는 어렵지 않다. 이것을 어떻게 해석하냐가 문제이다.
푸리에 변환(Fourier Transformation)의 의미
푸리에 변환 식 (\ref{1})를 살펴보면 이 식이 신호 $x[n]$과 신호 $e^{j \omega n}$간의 내적임을 알수있다. 내적의 의미는 무엇인가? 두 벡터 혹은 함수간의 유사도 이다. 값이 클수록 서로 비슷하다는 얘기이다.
주파수(Frequency)와 푸리에 변환의 관계
그러면 왜 많고 많은 신호중에 $e^{j \omega n}$와의 유사도를 보는 것일까? $e^{j \omega n}$은 복소평면에서 단위원 위를 일정한 주파수 $\omega$로 도는 신호이다. 신호 $e^{j \omega n}$를 알면 주파수가 $\omega$인 신호의 특성을 알 수 있고 주파수 $\omega$ 대역을 분석하고 싶다면 $e^{j \omega n}$를 보면 된다. 임의의 신호 $x[n]$이 주파수 $\omega$성분을 어느정도 갖고 있나 알고 싶다면 $x[n]$과 $e^{j \omega n}$과 내적을 하면 된다.
예를 들어 $x[n] = e^{j \omega_0 n}$이라하자. 그러면 $x[n]$은 주파수 성분이 $\omega_0$로만 구성되어있다. 푸리에 변환으로 이와 같은 생각을 확인할 수 있다.
$$X(e^{j\omega}) = 2\pi \delta(\omega – \omega_0) \text{ for } \pi < \omega \leq \pi \tag{2}\label{2}$$
(\ref{2})를 해석하면 $x[n]$의 주파수 성분은 $\omega_0$에서만 존재하며 다른 곳에서는 존재하지 않는 다는 얘기이다. 이렇듯이 푸리에 변환을 보면 신호 $x[n]$이 각기 다른 주파수를 갖는 $e^{j\omega n}$와 얼마나 유사한지 알 수 있다.