polyphase representation 에 대해 알아보겠습니다. polyphase representation 은 여러 phase로 쪼개서 표현한다고 생각할 수도 있지만요. 그냥 쉽게 생각하면 어떤 신호의 z transform 을 여러개로 쪼개는 작업이라고 보면 되겠습니다. 어떻게 쪼개느냐에 따라 Type 1 polyphase와 Type 2 polyphase로 나뉩니다.
Polyphase 유도
신호 $x[n]$이 있다고 합시다. 이것의 Z transform 을 보겠습니다.
$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} x[n] z^{-n} = \sum_{l=0}^{M-1} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[Mn+l] z^{-(Mn+l)}= \sum_{l=0}^{M-1} z^{-l} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[Mn+l] z^{-Mn}$$
Type 1 Polyphase
여기서 $E_l (z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[Mn+l]z^{-n}$ 이라고 하면요. 위의 식은 아래와 같이 변합니다.
$$X(z) = \sum_{l=0}^{M-1} z^{-l} E_l(z^M)$$
이와 같은 식을 Type 1 polyphase 라고 합니다.
Type 2 Polyphase
여기서 $R_l (z) = E_{l-(M-1)}(z)$이라고 하면 $X(z)$는 아래와 같이 변합니다.
$$X(z) = \sum_{l=0}^{M-1} z^{-(l-M+1)} R_l(z^M)$$
위와 같은 식을 Type 2 polyphase 라고 부릅니다.