이번에는 서로다른 두 랜덤프로세스 $X_t$와 $Y_t$가 있을 때 이 두랜덤프로세스가 독립이라는 것의 의미를 보도록 하자. 랜덤프로세스는 확률변수의 모임이라 랜덤프로세스에 대해 독립을 정의하는 것은 어렵지 않다. 어디한번 랜덤프로세스의 독립에 대해 정의해보자.
랜덤프로세스 $X_t$,$Y_t$가 독립
랜덤프로세스 $X_t$와 $Y_t$가 있다고 하자. 랜덤프로세스가 독립이라는 것은 $X_t$와 $Y_t$가 아무연관이 없다는 얘기이다. 확률적으로는 $X,Y$에 대한 확률이 곱으로 쪼개진다는 얘기이다. 이것에 힌트를 얻으면 랜덤프로세스가 독립이라는 얘기는 아래의 4가지와 동치이다.
어떤 $k,l \geq 0$에 대하여
1. $P(X_{t_i} \in B_{i}, Y_{s_j} \in C_j, \text{ for all } i\leq k, j \leq l)=P(X_{t_i} \in B_{i}\text{ for all } i\leq k)P( Y_{s_j} \in C_j \text{ for all } j \leq l)$ 여기서 $B_i$와 $C_j$는 Borel set
2. $X,Y$가 discrete 일 경우 $p_{X_{t_1},…,X_{t_k},…,Y_{s_1},…,Y_{s_l}}(x_{t_1},…,x_{t_k},…,y_{s_1},…,y_{s_l})=p_{X_{t_1},…,X_{t_k}}(x_{t_1},…,x_{t_k})p_{Y_{s_1},…,Y_{s_l}}(y_{s_1},…,y_{s_l}) $
3. $X,Y$가 Continuouse 일 경우 $p_{X_{t_1},…,X_{t_k},…,Y_{s_1},…,Y_{s_l}}(x_{t_1},…,x_{t_k},…,y_{s_1},…,y_{s_l})=p_{X_{t_1},…,X_{t_k}}(x_{t_1},…,x_{t_k})p_{Y_{s_1},…,Y_{s_l}}(y_{s_1},…,y_{s_l}) $
4. 결합 CDF의 경우가 곱으로 찢어질 경우 $F_{X_{t_1},…,X_{t_k},…,Y_{s_1},…,Y_{s_l}}x_{t_1},…,x_{t_k},…,y_{s_1},…,y_{s_l}) = F_{X_{t_1},…,X_{t_k}}(x_{t_1},…,x_{t_k})F_{Y_{s_1},…,Y_{s_l}}(y_{s_1},…,y_{s_l})$
5. 특성화 함수가 찢어질 경우