복소함수론에서 중요한 내용 중의 하나가 로랑급수(Laurent Series)이다. 로랑 급수는 복소수의 멱급수(power series)인데 음의 제곱항과 양의 제곱항이 공존하는 멱급수이다. 로랑 급수의 정의를 살펴보고 로랑 급수의 수렴 반경(Region of Convergence)에 대해 알아보자.
로랑급수(Laurent Series)란?
로랑급수는 복소수에서 정의된 멱급수로써 음의 제곱항과 양의 제곱항을 갖는다. 복소수 $z=z_0$에 대한 로랑 급수는 다음과 같다.
$$\sum_{n=\infty}^{\infty}a_n (z-z_0)^n \tag{1}\label{1}$$
로랑급수의 수렴성
$z=z_0$에서 로랑급수에 대해 $0\leq r < R \leq \infty$가 존재하여, 영역 $\{ z | r < \left | z \right| < R\}$에서 로랑급수는 수렴한다. 수렴하는 영역이 Disc나 Ring임을 알 수 있다.
로랑급수의 적용
신호 및 시스템의 신호 $x[n]$의 z-변환은 로랑급수로 정의한다.
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$$
이 정의는 로랑급수의 정의 (\ref{1}) 와 동일함을 알 수 있다. z변환의 수렴영역(ROC, Region Of Convergence)가 왜 링이나 디스크로 생겼는지는 로랑급수의 수렴성을 보면 알 수 있다.