함수 ln(1-x) 의 테일러 급수 (Taylor Series) 전개에 대해 알아보겠습니다. ln(1-x) 테일러 급수 전개는 생각보다 많이 만나게 되더라고요. 어떤 것을 증명하거나 유도하거나 분석할 때 자주 쓰이는 series같으니까요. 여러분들도 한번 쭉 보고 따라 와주세요. 방법 자체는 쉬우니까 여러분들도 할 수 있을 것이라 믿습니다. 잔소리가 길었네요. ln(1-x) 테일러 급수 전개 시작해봅시다.
ln(1-x) 테일러 급수 (Taylor Series)전개 방법에 대해 알아보자.
ln(1-x) 테일러 급수 (Taylor Series) 전개 방법은 사실 참 쉬워요. 이렇게 유튜브 영상(ln(1-x)의 테일러 급수(tayloer series) 전개 방법) 까지 있을 정도이죠. 이 영상을 보고 이해가 가신 다면 이 글을 더 이상 안보셔도 되요. 그렇지만 이해가 안되셨다면 이 글을 쭉 봐주시길 바랍니다.
\ln (1-x) 테일러 급수 (Taylor Series) 전개
결론부터 말하면 ln(1-x)의 테일러 급수 (Taylor Series) 전개 결과는 아래와 같습니다.
\ln (1-x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} x^k\ln (1-x) 테일러 급수 (Taylor Series) 전개 과정
그러면 본격적으로 함수 f(x) = \ln (1-x) 에 대해 테일러 급수 (Taylor Series) 전개를 하겠습니다. 우선 f(x) 의 미분을 구해보면 아래와 같이 나오죠.
f\prime(x) = - \frac{1}{1-x}그리고 |x| < 1 인 x 에 관하여 테일러 급수를 전개하면 아래와 같이 된다는 것은 알 고 있죠.
\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k위의 \frac{1}{1-x} 를 적분하면 아래와 같이 나오겠죠.
- \ln (1-x) = \int_{0}^x \frac{1}{1-t} dt = \int_{0}^x \sum_{k=0}^\infty t^k dt = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+1} x^{k+1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} x^k위의 결과를 정리하면 아래와 같이 ln(1-x)의 테일러 급수를 유도할 수 있습니다.
\ln (1-x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} x^k