안녕하세요. 삼각함수 $\sin x$ 미분 방법에 대해 알아보겠습니다. 삼각함수 $\sin x $의 미분과 미분을 하는 증명 방법에 대해 알려드리겠습니다. 생각보다 쉬워요. 여러분들 삼각함수 $\sin x $ 미분 한번 쭉 가보겠습니다. 감사합니다. lim sin의 값과 연과있습니다.
삼각함수 $\sin x$ 미분과 미분의 증명
이제 차차 알아보겠습니다.
$\sin x$ 의 미분
결론부터 말하면 $\sin x $의 미분은 $\cos x $입니다.
$$ (\sin x)^\prime = \cos x $$
$\sin x$ 의 미분 증명
이제 증명을 해보겠습니다. 미분을 구하려면 아래의 극한을 구해야 겠지요.
$$\lim_{h\to 0 } \frac{ \sin(x+h) – \sin(x)}{h}\tag{1}\label{1}$$
그러면 $\sin(x+h)- \sin(x)$를 구해보도록 하겠습니다. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 아래가 성립합니다.
$$\sin(x+h) – \sin(x) = 2 \sin\left( \frac{h}{2} \right) \cos \left( x + \frac{h}{2} \right) \tag{2}\label{2}$$ 이제 이 식 $(\ref{2})$을 $(\ref{1})$에 입력하겠습니다. 그러면
$$\lim_{h\to 0 } \frac{ \sin(x+h) – \sin(x)}{h} = \lim_{h\to 0 } \frac{\left(2 \sin\left( \frac{h}{2} \right) \cos \left( x + \frac{h}{2} \right)\right)} {h} $\tag{3}\label{3}$$
여기서 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 라는 사실을 활용한다면 아래와 같은 식이 유도됩니다.
$$\lim_{h\to 0 } \frac{ \sin(x+h) – \sin(x)}{h} = \lim_{h\to 0 } \frac{\left(2 \sin\left( \frac{h}{2} \right) \cos \left( x + \frac{h}{2} \right)\right)} {h} = \cos x$$