선형대수에 중요한 행렬공식중 하나인 Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula)에 대해 알아보도록 하겠습니다. Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula)는 군데 군데 잘 쓰이니까 알아두면 좋겠습니다.
Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula)
정사각행렬 A 가 있습니다. 그리고 또다른 정사각행렬 C 가 있습니다. 그리고 행렬 U,V 가 있다고 합시다. 행렬들의 사이즈에 대해 얘기 안했지만 행렬 연산 A + UCV 가 잘 정의된다고 합시다. 그럴 때 A+UCV 의 역행렬은 아래와 같이 나타나집니다.
(A+UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1} V A^{-1} \tag{1}Matrix Inversion Lemma (Sherman-Morrison-Woodbury formula)의 작은 버전(?)
좀 더 자주 만나는 Matrix Inverssion Lemma 에 대해 알아보겠습니다. A 를 정사각행렬이라고 합시다. \mathbf{u} ,\mathbf{v} 를 열벡터라고 합시다. 이 때 행렬의 사이즈에 대해 얘기 안했는데요. A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T 가 잘 정의되도록 하는 사이즈를 갖는다고 가정합시다. 이 때 행렬 A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T 의 역행렬은 아래와 같이 표현됩니다.
(A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{ A^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^T A^{-1}}{1+ \mathbf{v}^T A^{-1} \mathbf{u}} \tag{2}식 (1)에서 U=\mathbf{u}, V=\mathbf{v}^T 인 경우 식 (2)가 성립함을 볼 수 있습니다.
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