Linear SDE (선형확률미분방정식, Linear Stochastic Differential Equation)의 전이확률밀도 (Transition PDF)에 대해 알아보겠습니다.
선형확률미분방정식의 transition pdf에 대해 알아보겠습니다. 그러기 위해서는 선형확률미분방정식이 무엇인지부터 알아보겠습니다.
선형미분방정식 (Linear SDE, Linear Stochastic Differential Equation)의 형태
\begin{align} d \mathbf{x} = \left( \mathbf{F}(t) \mathbf{x} + \mathbf{u}(t) \right) dt + \mathbf{G}(t) d \mathbf{w} \end{align}여기서 \mathbf{w} 는 Brownian motion 입니다. 그리고 \mathbf{F}(t) , \mathbf{G}(t)는 행렬이고요 \mathbf{u}(t) 는 \mathbf{x}(t) 와 크기가 같은 벡터입니다.
선형미분방정식의 Transition PDF
만약에 \mathbf{x}(0) 가 주어져있다면 0에서 t로 갈 때의 \mathbf{x}(t) 의 transition pdf p_{0t} (\mathbf{x}(t) | \mathbf{x}(0))는 아래와 같습니다.
\begin{align} p_{0t} ( \mathbf{x}(t) | \mathbf{x}(0)) = \mathcal{N} \left( \mathbf{x} (t) | \mathbf{m}(t), \mathbf{\Sigma}(t) \right) , \mathbf{m}(0) = \mathbf{x}(0), \mathbf{\Sigma}(t) =\mathbf{0} \end{align}여기서 \mathcal{N} \left( \mathbf{x} (t) | \mathbf{m}(t), \mathbf{\Sigma}(t) \right) 는 mean 이 \mathbf{m}(t) 이고 covariance 가 \mathbf{\Sigma}(t) 이 가우시안 분포의 \mathbf{x} (t) 에서의 pdf입니다. 그리고 이 글에서 볼수 있듯이, 여기서 \mathbf{m}(t) = E[ \mathbf{x} (t) ] , \mathbf{\Sigma}(t) = COV(\mathbf{x}(t)) 입니다. 그리고 이 글에서 알 수 있듯이 mean 과 covariance는 아래와 같은 미분 방정식을 만족합니다.
\begin{align*} \frac{d\mathbf{m}}{dt} &= E[ \mathbf{F}(t) \mathbf{x} + \mathbf{u}(t)] \\ \frac{d \mathbf{\Sigma}}{dt} &= E\left[ \left( \mathbf{F}(t) \mathbf{x} + \mathbf{u}(t)\right)\left( \mathbf{x} - \mathbf{m} \right)^T \right] + E[ \left( \mathbf{x} - \mathbf{m} \right)\left( \mathbf{F}(t) \mathbf{x} + \mathbf{u}(t)\right)^T] \\ &+E[ \mathbf{G}(\mathbf{x},t)\mathbf{G}^T(\mathbf{x},t)] \end{align*}
여기서 \mathbf{F}(t) , \mathbf{G}(t), \mathbf{u}(t) 가 expectation 기호 안에서 상수라는 점을 이용하면 \mathbf{m}(t) 에 대한 미분 방정식은 아래와 같이 바뀝니다.
\frac{d \mathbf{m}(t)}{dt} = \mathbf{F}(t) \mathbf{m} + \mathbf{u}(t)그리고 아래의 등식이 성립한다는것을 알 수 있죠. \begin{align*} E[ \mathbf{x}( \mathbf{x} - \mathbf{m})^T]&= E[ (\mathbf{x}-\mathbf{m} + \mathbf{m})(\mathbf{x} - \mathbf{m})^T]\\ &= E[ (\mathbf{x}-\mathbf{m})(\mathbf{x}-\mathbf{m})^T] + \mathbf{m} E[ \mathbf{x}- \mathbf{m}] \\ &= E[ (\mathbf{x}-\mathbf{m})(\mathbf{x}-\mathbf{m})^T]\\ &= \mathbf{\Sigma} \end{align*}
위의 식을 Covariance에 대한 미분방정식에 집어 넣으면 아래의 식이 만족합니다.
\frac{d \mathbf{\Sigma}}{dt} = \mathbf{F}(t) \Sigma + \Sigma \mathbf{F}^T(t) + \mathbf{G}(t) \mathbf{G}^T(t)이제 Mean과 Covariance에 대한 미분방정식을 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
\begin{align}\frac{d \mathbf{m}(t)}{dt} = \mathbf{F}(t) \mathbf{m} + \mathbf{u}(t)\end{align} \begin{align} \frac{d \mathbf{\Sigma}}{dt} = \mathbf{F}(t) \Sigma + \Sigma \mathbf{F}^T(t) + \mathbf{G}(t) \mathbf{G}^T(t) \end{align}선형미분방정식의 Transition PDF 정리
선형미분방정식 (1) 의 transition pdf 는 가우시안 분포 (2) 를 따르고 mean과 covariance는 (3)과 (4)를 이용해서 구합니다.