Linear SDE (Stochastic Differential Equation) 선형 확률미분방정식 의 해 구하기
Linear SDE (선형 확률미분방정식)의 해를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 선형확률미분방정식은 explicit 한 해가 있으므로 나름 유용하게 쓰이는 미분 방정식입니다. 선형확률미분방정식은 어떻게 하면 구할 수 있을까요? 이번 글에서는 선형확률미분방정식 푸는 방법을 알아보겠습니다.
Linear SDE 선형 확률미분방정식 풀이 방법
아래와 같은 선형 확률미분방정식이 있다고 합시다.
\begin{equation} d\mathbf{x} = \mathbf{F}(t) \mathbf{x} dt + \mathbf{u}(t) dt + \mathbf{L}(t) d\mathbf{w} , \quad t \geq t_0 \end{equation}이 선형확률미분방정식 (1)은 어떻게 푸는 것일까요? 이것을 풀기 위해서는 전이행렬(transition matrix)를 이용하면 됩니다. 전이행렬에 대해서는 이미 글을 잘써놨으니 전이행렬에 대해 꼭 보고 오세요. 여기서 어떤 전이행렬을 사용할까요? 아래의 미분방정식 (2) 에 대한 전이행렬 \mathbf{\Psi}(\tau, t) 을 이용합니다.
\begin{equation} \frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(t) \mathbf{x}, \quad t \geq t_0 \end{equation}
이것을 어떻게 풀까요? 먼저 \mathbf{ \Psi(t_0, t) \mathbf{x} } 에 대하여 이토공식을 적용합니다. 그러면 아래와 같은 식 (3)이 나옵니다. 여기서 전이행렬의 성질 몇가지를 사용하였는데요. 어떤 성질을 사용했는지는 전이행렬에 대한 글을 보고 파악해보세요
이제 미분방정식 (1) 에 \Psi(t_0,t) 를 곱하고 식 (3) 을 정리하면 아래와 같은 식이 나오죠.
\begin{equation} d[\Psi(t_0, t) \mathbf{x}] = \Psi(t_0, t) \mathbf{u}(t) dt + \Psi(t_0, t) \mathbf{L}(t) d \mathbf{w} \end{equation}위의 식 (4)을 정리하면 아래와 같은 꼴이 나오겠죠. 즉 선형확률미분방정식 (1)의 해는 아래와 같이 나온다.
\begin{equation} \mathbf{x}(t) = \Psi(t,t_0)\mathbf{x}(t_0) + \int_{t_0}^t \Psi(t, \tau) \mathbf{u}(\tau) d \tau + \int_{t_0}^t \Psi(t,\tau) \mathbf{L}(\tau) d \mathbf{w} (\tau) \end{equation}
도움이 되는 컨텐츠:
[확률미분방정식] SDE (Stochastic Differential Equation) 기호 정리