실수에서 정의된 실수열 a_n 이 a \in \mathbb{R} 로 수렴한다고 하자. 그러면 a_n 는 cauchy sequence이다. 왜일까?
수렴하는 수열이 코시수열인 이유 증명
앞에서 언급한대로 실수열 a_n 이 a 로 수렴한다고 하자. 이 때 a_n 이 코시수열임을 보일것이다.
수렴하는 수열의 특징
임의의 양수 \epsilon > 0 이 있다고 하자. a_n 은 a 로 수렴하기 때문에 다음을 만족하는 자연수 N_\epsilon 존재한다.
n \geq N_\epsilon 일 때 마다 |a_n -a| < \epsilon/2
코시수열임을 증명
그러면 n, m \geq N_\epsilon 일 때마다
|a_n - a_m|=|a_n-a+a-a_m| \leq |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon/2+\epsilon/2 = \epsilon따라서 수열 a_n 은 코시수열입니다.