시작점 condition이 있을 때 Brownian motion의 probability density function (pdf)에 대해 알아보자. 시작하기 전에 아래 글을 보자. 아래 글의 노테이션 그대로 쓸 예정이다.
condition 있을 때 Brownian motion
s_1 < s_2 일 때 x_{s_1}가 주어진다면 x_{s_2} 는 x_{s_2} \sim \mathcal{N}(x_{s_1}, \sigma^2 (s_2-s_1)) 이다. 따라서 s_1 에서 state가 주어질 때 s_2 에서의 conditonal probability density function은 아래와 같다.
p_{s_1 s_2 } (x_{s_2} | x_{s_1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 (s_2-s_1)}} \exp\left( - \frac{(x_{s_2}-x_{s_1})^2}{2 \sigma^2 (s_2-s_1)}\right)