신호 $x[n]$이 실수일때 신호 $x[n]$의 DTFT (Discrete Time Fourier Transform)이 갖고 있는 성질에 대해 알아보자. DTFT는 아래와 같다.
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] e^{j\omega n}$$
여기에 conjugate 를 붙혀 보겠습니다. 그러면 아래와 같아지죠.
$$X^{\star}(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] e^{-j\omega n}=X(e^{-j\omega})$$
여기서 한가지를 관찰 할수 있습니다. 바로 $|X(e^{j\omega})$가 $\omega$에 대해 even function 이란 점이죠.
$$|X(e^{j\omega})|=|X^\star(e^{j\omega})|=|X(e^{-j\omega})|$$
그러면 phase는 어떻게 될까요? 아래와 같이 magnitude와 phase를 이용해 나눠쓰면 아래와 같이 쓸수 잇습니다.
$$X(e^{j\omega})=\mid X(e^{j\omega}) \mid e^{j \phi (\omega)}$$
$X^\star (e^{j\omega}) = X(e^{j\omega})$와 magnitude 가 even function 이라는 사실을 사용하면요
$\phi(\omega) = – \phi(-\omega)$라는 사실, 즉 phase가 odd function 이라는 것을 보일 수 있습니다.