안녕하세요. 여러분. 신호 및 시스템을 공부하시는 여러분들 제어공학 공부하시는 여러분들 라플라스 변환이 굉장히 중요한 툴인데요. 사실 라플라스 변환해야 하는 신호들은 거의 정해져 있습니다. 대표적으로는 $-e^{-at}u(-t)$ 꼴로 지수함수에 unit step function을 시간 축을 뒤집어서 곱한 꼴 인데요. 오늘은 이 신호의 라플라스 변환을 구해보겠습니다. 라플라스 변환이 무엇인지 모르겠는 분은 바로 밑에 글을 참고해주세요.
결론부터 말씀드리면 라플라스 변환과 ROC는 다음과 같습니다.
$$\mathcal{L} \{ -e^{-at}u(-t) \}(s) = \frac{1}{s+a} \text{, ROC is } Re(s) < -a$$
$e^{-at}u(t)$의 라플라스 변환 계산 과정
$$\begin{align}\mathcal{L} \{ -e^{-at}u(-t) \}(s) &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt \\&= \int_{\infty}^{0} -e^{-at} u(-t) e^{-st}dt\\ &= -\int_{-\infty}^{0} e^{-(a+s)t} dt \\ &= -\int_{0}^{\infty} e^{(a+s)t} dt \\&= -\frac{1}{s+a}e^{(s+a)\infty} + \frac{1}{s+a}e^{(s+a)0} \\ &= \frac{1}{s+a} \text{ , when } Re(s) < -a \end{align}$$
위의 식에서 $e^{(s+a)\infty}$는 $Re(s) < -a $ 일 때만 0이되고 아니면 수렴하지않습니다. $s$를 실수부 허수부로 나누어서 계산하시면 됩니다.