연립 1계 선형 미분방정식 풀이 가능한 경우, 풀이방법

연립 1계 선형 미분방정식(Systems of First Order Linear Differential Equations) 풀이 방법

이번 글에서는 연립 1계 선형 미분방정식(Systems of First Order Linear Differential Equations)이 풀리는 경우를 알아보고 그것의 풀이 방법을 알아보겠습니다.  연립 1계 선형 미분방정식에 대해서는 많은 설명이 있으나 이 글을 보는 것을 추천합니다.

연립 1계 선형 미분방정식 풀이 가능한 경우

언제 연립 1계 선형 미분방정식이 풀이가능할까요? 연립1계 선형미분방정식은 아래와 같은 꼴을 가졌죠.

\begin{align}\frac{d \mathbf{X}(t)}{dt} = \mathbf{A}(t) \mathbf{X}(t) + \mathbf{b}(t) \end{align}

여기서는 \mathbf{A}(t) t 에 의존하지 않는 경우에 즉 \mathbf{A}(t) = \mathbf{A} 이고 \mathbf{A} 가 대각화 (diagnolization) 가능할 때,  연립 1계 선형미분방정식 (1)은 잘 풀립니다. 이것을 아래에 정리해보겠습니다.

\begin{align} \frac{d \mathbf{X}(t)}{dt} = \mathbf{A} \mathbf{X}(t) + \mathbf{b}(t)\end{align}

연립 1계 선형 미분방정식 풀이 방법

식 (2) 에서 \mathbf{A} 를 대각화 해봅시다. \mathbf{A} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{D}\mathbf{P} 형태가 되겠죠. 이 때 \mathbf{Y}(t) = \mathbf{P X}(t) 를 치환한 후에 이것을 식 (2)에 넣어봅니다. 그러면 아래와 같은 식이 나옵니다.




\begin{align}\frac{d \mathbf{P^{-1}Y}(t)}{dt} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{D}\mathbf{P} \mathbf{X}(t) + \mathbf{b}(t) \end{align}

위의 식 (3)에 \mathbf{P} 를 곱하면 아래와 같이 나옵니다.

\begin{align}\frac{d \mathbf{Y}(t)}{dt}  = \mathbf{D} \mathbf{Y}(t) + \mathbf{P} \mathbf{b}(t) \end{align}

여기서 \mathbf{D} 는 대각행렬이기 때문에 이점을 고려하면 식 (4)는 \frac{dy(t)}{dt} + p(t) y(t) =r(t) 인 미분방정식을 쭉 나열한것에 지나지 않습니다. 1차 선형 미분방정식은 쉽게 풀리는 것은 이 글에서 쉽게 알려주고 있죠. 그래서 대각화를 이용해서 미분방정식을 바꿔준다면, 미분방정식이 쉽게 풀립니다.

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