연립 1계 선형 미분 방정식 (Systems of First Order Linear Differential Equations)에 대하여 알아보자.
연립 1계 선형 미분 방정식에 대해 알아보겠습니다. 1계 선형 미분방정식에 대해서는 이미 잘 알고 계실거라고 봅니다. 모르시다면 1계 선형 미분방정식에 대해 알아보고 오세요. 이제 본론으로 들어가서 연립 1계 선형 미분 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다.
목차
연립 1계 선형 미분 방정식
벡터함수에 대하여
연립 1계 선형 미분 방정식은 말그대로 1계 선형 미분 방정식이 여러개인 미분 방정식을 말합니다. 아래와 같은 미분 방정식의 모임을 뜻합니다.
\begin{align}\begin{cases} &\frac{d}{dt} x_1(t) = a_{11}(t)x_1(t)+a_{12}(t)x_2(t) +.... + a_{1N}(t) x_N(t) + b_1(t) \\ & \frac{d}{dt} x_2(t) = a_{21}(t)x_1(t)+a_{22}(t)x_2(t) +.... + a_{2N}(t) x_N(t)+ b_2(t)\\ & \frac{d}{dt} x_3(t) = a_{31}(t)x_1(t)+a_{32}(t)x_2(t) +.... + a_{3N}(t) x_N(t) +b_3(t) \\ &\hspace{10em}\vdots \\ & \frac{d}{dt} x_N(t) = a_{N1}(t)x_1(t)+a_{N2}(t)x_2(t) +.... + a_{NN}(t) x_N(t) + b_N(t)\end{cases}\end{align}여기서 아래와 같이 식을 정의해보겠습니다. \begin{align*} \mathbf{A}(t) &=\left[ a_{ij}(t)\right]_{i=1,2,...,N, j=1,2,...,N} \\ \mathbf{x}(t)& = \left(x_1(t),x_2(t), ... , x_N(t) \right)^T \\ \mathbf{b}(t) &= \left( b_1(t),...,b_N(t) \right)^T \end{align*}
위의 식을 (1) 에 적용하면 (1)에 복잡해 보이는 식을 아래와 같이 행렬을 이용해서 간단히 표현할 수 있습니다.
\begin{align} \frac{d}{dt}\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{b}(t) \end{align}
행렬함수에 대하여
위에서 벡터함수 \mathbf{x}(t) 에 대해서만 연립 1계 선형 미분 방정식을 행렬을 이용해서 예쁘게 표현 했는데요. 사실 행렬 함수 \mathbf{X}(t) 에 대해서도 정리가 가능합니다. 이번에는 줄여써서 아래와 같은 1계 선형미분방정식의 모임이 있다고 합시다.
\begin{align} \frac{d}{dt} x_{ij} (t) = \sum_{k=1} a_{ik}(t) x_{kj}(t) +b_i(t) \end{align}이번에도 아래와 같이 term을 정리해 보겠습니다. \begin{align*} \mathbf{A}(t) &=\left[ a_{ij}(t)\right]_{i=1,2,...,N, j=1,2,...,N} \\ \mathbf{X}(t)& = \left[x_{ij}(t) \right]_{i=1,2,...,N, j=1,2,...,N} \\ \mathbf{b}(t) &= \left( b_1(t),...,b_N(t) \right)^T \end{align*}
위의 식을 식 (3)에 집어 넣으면 연립 1계 선형 미분 방정식을 정리할 수 있습니다.
\begin{align} \frac{d}{dt} \mathbf{X}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{X}(t) \end{align}