열전도 (Heat Conduction) 현상이 발생한다고 하자. 이 때 어떤 매개체를 통해서 열전도 현상이 발생한다. 그랬을 때 이 매개체의 경계부분에서는 어떤 조건들을 만족하곤 한다. 이러한 경계부분에서의 조건을 Boundary Condition 이라고 부르고 전형적인 Boundary Condition 들을 분류할 수 있다.
Boundary Condition 1. (Presecribed Temperature)
말그대로 경계부분의 온도가 어떤 함수 f(\hat{r},t) 로 주어졌을 때를 말한다. 아래와 같은 조건을 말한다.
T\mid_{surface} = f ( \hat{r}, t)이것을 1차원 interval [a,b] 에서만 열전도 문제로 생각해서 조건을 가져오면 아래와 같이 변형된다.
T(a)=f(a,t), T(b)=f(b,t)경계에서 온도가 0이면 아래와 같이 바뀐다.
T(a)=0, T(b)=0Boundary Condition 2. (Presecribed Heat Flux)
말그대로 경계부분의 Heat Flux가 어떤 함수 f(\hat{r},t) 로 주어졌을 때를 말한다. 아래와 같은 조건을 말한다.
-k \frac{ \partial T}{ \partial n} \mid_{surface} = f ( \hat{r}, t)이것을 1차원 interval [a,b] 에서만 열전도 문제로 생각해서 조건을 가져오면 아래와 같이 변형된다.
-k \frac{ \partial T}{ \partial x}(a)=f(a,t), -k \frac{ \partial T}{ \partial x}(b)=f(b,t)경계에서 heat flux가 0이면 아래와 같이 바뀐다. 경계에서 단열이 된 경우를 의미한다.
-k \frac{ \partial T}{ \partial x}(a)=0, -k \frac{ \partial T}{ \partial x}(b)=0Boundary Condition 3. (Convection)
열이 흐르는 매체가 어떤 유체들에 둘러쌓여 있어 convection 이 발생하는 경우이다.
-k \frac{ \partial T}{ \partial n} \mid_{surface} = h\left[T|_{surface} - T_\infty (\hat{r},t)\right]T|_{surface} 는 경계에서의 매체의 온도이고 T_\infty (\hat{r},t) 는 유체의 온도이다. 그리고 h convection에서의 heat transfer rate 를 뜻한다.
이것을 1차원 interval [a,b] 에서만 열전도 문제로 생각해서 조건을 가져오면 아래와 같이 변형된다.
-k \frac{ \partial T}{ \partial x}(a)=-h_1(T(a)-T_{\infty,1}(a)), -k \frac{ \partial T}{ \partial x}(b)=h_2(T(b)-T_{\infty,2}(b))x=a 이전과 x=b 이 후의 유체가 다를 수 있으므로 각각의 유체에 대응되는 heat transfer rate 를 h_1, h_2 를 이용해 표시하였다. 그리고 T_{\infty,1} , T_{\infty,2} 를 각각 x=a 이전의 유체의 온도, x=b 이후의 유체의 온도를 의미한다. 두번째 식에서 -가 붙은 이유는 고온에서 저온으로 열이 흐른다라는 것을 표현하기 위해서다.
-출처 – Hahn, D. W., & Özisik, M. N. (2012). Heat conduction. John Wiley & Sons.
“이 포스팅은 쿠팡 파트너스 활동의 일환으로, 이에 따른 일정액의 수수료를 제공받습니다.”