열전도 (Heat Conduction)에서 중요한 Boundary Value Problem에 대해 알아보겠습니다. Boundary Value Problem 은 Sturm-Liouville Problem 이라고도 불리오고 어떤 특정한형태의 미분방정식과 경계값 조건 (Boundary Condition)이 주어진 문제를 말합니다.
Boundary Value Problem, Sturm-Liouville Problem 의 형태
어떤 interval [a,b] 에서 정의된 함수 p(x), q(x), w(x) 가 있다고 하자. Sturm-Liouville Problem은 아래의 미분방정식 (1)과 경계값 조건 (2), (3)을 만족하는 함수 X(x) 를 찾는 문제이다.
\frac{d}{dx} \left[ p(x) \frac{dX(x)}{dx} \right] + \left[q(x) + \lambda w(x) \right]X(x)\tag{1} A_1 \frac{dX(x)}{dx} +A_2 X(x) = 0 \text{ at } x=a \tag{2} B_1 \frac{dX(x)}{dx} +B_2 X(x) = 0 \text{ at } x=b \tag{2}여기서 식 (1)은 \lambda 에 의존하는 방정식이다. 그리고 (a,b) 에서 p(x)>0, w(x)>0 이다. 그리고 식 (2), (3)의 coefficient A_1, A_2, B_1, B_2 는 \lambda 에 의존하지 않는다.
Eigen value
위의 미분방정식 (1)에서 \lambda 가 갑자기 생겨났다. 사실 \lambda 값에 따라 서로다른 미분 방정식이 생겨나고 solution 도 여러개 생겨난다. 식 (1)을 만족시키는 \lambda 는 보통 countably infinite 해서 \{\lambda_n \}_{n=0,1,2,...} 형태로 쓰고 \lambda_n 를 eigen value라고 한다.
Eigen functions, Orthogonal Functions
방금 말했다시피 식 (1)을 만족시키는 Eigen value \lambda_n , n=0,1,2,... 는 여러개이다. 따라서 \lambda_n 의 값은 서로 다르니까 \lambda_n 에 따른 미분 방정식 (1)을 만족하는 solution 의 종류도 다양할 것이다. \lambda_n 에 대응되는 미분 방정식 (1)의 해를 X_n(x, \lambda_n) 혹은 X_n(x) 라고 표시하고 이 함수들을 Eigen Functions 라고 부른다. 이미 알려진 사실에 의하면 X_n(x) 는 orthogonal 이고 w(x) 가 weight 역할을 하여 하여 norm N(\lambda_n)을 정의한다. (참고글: orthogonal function에 대한 글)
\int_a^b w(x) X_n(x, \lambda_n) X_m(x,\lambda_m) dx = 0 \text{ if } m \neq n N(\lambda_n) = \int_a^b w(x) X_n(x, \lambda_n) X_n(x,\lambda_n) dx
경계값 조건이 줄어드는 경우
Sturm-Liouville Problem 은 경계값 조건이 (2), (3)이 주어져있다. 그런데 상황에 따라 이 조건이 줄어들기도 한다.
- p(a) = 0 이면 조건 (2)은 사라진다.
- p(b) = 0 이면 조건 (3)은 사라진다.
- p(a)=p(b) 이면 X(a)=X(b), X^\prime(a)=X^\prime(b)
-출처 – Hahn, D. W., & Özisik, M. N. (2012). Heat conduction. John Wiley & Sons.
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