안녕하세요 이번 글에서는 열전도 (Heat Conduction) 현상을 다룰 때 필요한 개념인 Orthogonal Functions 에 대해 알아보도록 하겠습니다. 개념 자체는 쉬운 개념인데, 열전도 (Heat Conduction)를 묘사하는 미분 방정식을 풀 때는 중요한 역할을 하니까 알아보도록 하죠.
Orthogonal Functions 의 정의
실수의 부분집합인 interval [a,b] 에서 정의된 두 함수 \pi_1(x), \pi_2(x) 가 있다고 합시다. 아래처럼 두 함수의 곱의 [a,b] 위에서 적분이 0이되면 이 두함수 \pi_1(x), \pi_2(x) 는 orthgonal 이라고 말합니다.
\int_{a}^{b} \pi_1(x) \pi_2(x) dx = 0
두개의 함수에 대해서만 orthgonal을 얘기할 수 있는 것이 아닙니다. 함수가 여러개일 때도 Orthogonal Functions 를 얘기할 수 있죠. interval [a,b] 에서 정의된 함수의 집합 \{\pi_n(x) \}_{\{n=0,1,2,...\}} 가 있다고 합시다. 아래처럼 n \neq m 일 때 두함수 의 곱 \pi_n(x) \pi_m(x) 에 대한 [a,b] 의 적분이 0 이 될때, \{\pi_n(x) \}_{\{n=0,1,2,...\}} 를 orthogonal functions 라고 합니다.
\int_{a}^{b} \pi_n(x) \pi_m(x) dx = 0
이제 함수의 제곱의 적분을 아래와 같이 N (\lambda) 라고 표시하고 N (\lambda) 를 orthogonal functions 의 norm 이라고 부릅니다.
N (\lambda) = \int_{a}^b (\pi_n(x))^2 dx
일반화된 Orthogonal Functions
\{\pi_n(x) \}_{\{n=0,1,2,...\}} (x) 가 있고 weighting 함수 w(x) \geq 0 가 있을 때, weighting 과 함수들을 곱해서 만든 적분이 아래의 조건을 만족하면 \{\pi_n(x) \}_{\{n=0,1,2,...\}} 를 generalized orthogonal functions 이라고 부릅니다. 편의상 orthogonal functions이라고 부릅니다.
\int_{a}^{b} \pi_n(x) \pi_m(x) dx = 0 \text{ for all } n\neq m그리고 norm N(\lambda) 도 아래와 같이 잘 정의됩니다.
N (\lambda) = \int_{a}^b w(x) (\pi_n(x))^2 dxOrthonormal Functions
Orthogonal functions \{\pi_n(x) \}_{\{n=0,1,2,...\}} 가 있을 때 N (\lambda) = 1 이면 \{\pi_n(x) \}_{\{n=0,1,2,...\}} 를 orthonormal functions 라고 부릅니다.
Orthogonal Functions 의 종류
Orthogonal functions 에는 trigonometric functions, Bessel Functions, Legendre polynomials, Tchebysheff polynomials 등이 존재합니다.
-출처 – Hahn, D. W., & Özisik, M. N. (2012). Heat conduction. John Wiley & Sons.
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