이 번글에서는 Bessel Equation 과 Bessel Functions 에 대해 알아보겠습니다. boundary value problem([열전도 (Heat Conduction)] Boundary Value Problem, Sturm-Liouville problem)을 풀이할 때 유용한 개념이니까 알아두시면 좋겠습니다.
Bessel equation 과 Bessel Function에 대해 공부하기 전 읽을 글
boundary value problem, orthogonal functions, boundary condition 등에 알아야 Bessel equation 과 Bessel function 에 대해 이해하기 편하실 겁니다. 아래의 글을 필히 읽어 오시길 바랍니다.
- [열전도 (Heat Conduction)] Orthogonal Functions 에 대해 알아보기
- [열전도 (Heat Conduction)] Boundary Value Problem, Sturm-Liouville problem
- [열전도 (Heat Conduction)] Boundary condition 의 종류
- [열 전도(Heat Conduction)] Trigonometric Functions을 이용한 Boundary Value Problem 풀이
Bessel equation 이란?
Boundary value problem ([열전도 (Heat Conduction)] Boundary Value Problem, Sturm-Liouville problem)이 따르는 미분방정식 중에서 아래와 같은 미분 방정식 (1) 을 Bessel equation 이라고 하고 여기에 추가되는 경계값 조건을 (2), (3)에 분류하였습니다.
\frac{d}{dr}\left [r \frac{dR}{dr}\right] + \left[ \frac{-\nu^2}{r} + \lambda^2 r\right] R=0, a \leq r \leq b \tag{1} A_1 \frac{dR}{dr} + A_2 R = 0, r=a \tag{2} B_1 \frac{dR}{dr} + B_2 R = 0, r=b \tag{3}여기서 일반적인 Sturm-Liouville problem 이 따르는 미분 방정식에서 p(r) = r , w(r) = r , q(r) = -\frac{ \nu^2 } { r} 임을 알 수 있고 eigen value 는 \lambda^2 형태인 제곱으로 표시했습니다.
Bessel Function 이란?
(1)과 같은 미분 방정식을 푸는데 필요한 solution 이 Bessel function 입니다. 각각의 eigen value \lambda 에 대응되는 eigen function을 R(\lambda, r) (간단히는 R(r) ) 라고 한다면 R(r) 은 Bessel function 제 1형식 J_\nu (r) 과 Bessel function 제 2형식 Y_\nu(r) 에 의해 정의됩니다.
R(r) = C_1 J_\nu(\lambda r) + C_2 Y_\nu (\lambda r)이 때 제 1형식, 제 2형식 Bessel function 을 몇개 그려보면 아래와 같이 나옵니다.
Bessel Function의 특징
Bessel Function 의 몇가지 특징에 대해 알아보겠습니다.
J_0(0)=1, J_\nu(0)=0 \text{ for } \nu \neq 0, Y_\nu(z \to 0 ) \to -\infty \text{ for } \nu \geq 0 \frac{d}{dz} J_\nu(\lambda z) = \frac{ \nu} { z} J_\nu (\lambda z) - \lambda J_{\nu+1}(\lambda z) \frac{d}{dz} Y_\nu(\lambda z) = \frac{ \nu} { z} Y_\nu (\lambda z) - \lambda Y_{\nu+1}(\lambda z)
-출처 – Hahn, D. W., & Özisik, M. N. (2012). Heat conduction. John Wiley & Sons.
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