[열 전도(Heat Conduction)] Bessel function (베셀 함수) 의 제곱의 적분

이번 글에서는 Bessel function의 제곱의 적분값을 구해보려고 한다. Bessel function 의 제곱의 적분을 구해야 되는 경우가 많으므로 정리해두면 좋겠다.

Bessel function 제곱 적분 구하기전 읽어야 하는 글

Bessel function 의 제곱 적분을 구하기전에 기본적으로 알아야 되는 내용이 있다. 아래의 글을 쭉 읽어 오면 좋겠다.

문제의 목적부터 다시 정리해보겠다. 제 1 종 Bessel function $J_\nu(x)$ 가 있다고 하자. 그랬을 때 아래의 적분을 구하고 싶다.

\int_a^b x (J_\nu(\lambda x))^2

여기서 $\lambda$ 는 $J_\nu(x)$ 가 만족시키는 Bessel equation 에 있는 eigen value $\lambda$ 를 말한다. $J_\nu (\lambda x)$ 는 아래의 미분방정식 (1)을 만족한다.

\frac{d}{dx} \left [ x \frac{dJ_\nu(\lambda x)}{dx} \right] + \left [ -\frac{\nu^2}{x} + \lambda^2 x   \right]J_\nu (\lambda x) = 0  \tag{1}

이제 (1)에다가 $2x \frac{dJ_\nu(\lambda x)}{dx}$ 를 곱하면 아래의 식 (2)를 얻는다.

2x \frac{dJ_\nu(\lambda x)}{dx} \frac{d}{dx} \left [ x \frac{dJ_\nu(\lambda x)}{dx} \right] + \left [ -\nu^2 + \lambda^2 x^2   \right]J_\nu (\lambda x) 2 \frac{dJ_\nu(\lambda x)}{dx}= 0  \tag{2}

식 (2)를 좀만 정리하면 아래와 같이 변형된다.

\frac{d}{dx} \left [ x \frac{dJ_\nu(\lambda x)}{dx} \right]^2 +  \left [ -\nu^2 + \lambda^2 x^2   \right]  \frac{d(J_\nu(\lambda x))^2}{dx}= 0  \tag{3}

식 (3)에 대해 적분을 할 것인데, 첫번째 term에 대해서는 부정적분을 해주면 되고, 두번째 term에 대해서는 부분 적분법을 사용해보자. 식 (3)을 적분하면 아래와 같이 나올 것이다.

\left[ \left( x \frac{d J_\nu(\lambda x)}{dx} \right)^2 + (\lambda^2 x^2 -\nu^2) J_nu^2 (\lambda x) \right]_a^b - 2\lambda^2 \int_a^b x J_\nu^2 (\lambda x)dx = 0 \tag{4}

식 (4)를 정리하면 아래와 같이 적분값을 구할 수 있다.

\int_a^b x J_\nu^2 (\lambda x)dx  = \frac{1}{2\lambda^2} \left[ \left( x \frac{d J_\nu(\lambda x)}{dx} \right)^2 + (\lambda^2 x^2 -\nu^2) J_nu^2 (\lambda x) \right]_a^b

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