[열 전도(Heat Conduction)] Trigonometric Functions을 이용한 Boundary Value Problem (경계값 문제) 풀이

열전도에서 Boundary Value Problem 을 푸는 Skill들에 대해 알아보자. 열전도에서 Boundary Condition이 중요하다는 것은 열전도 공부하는 사람들은 누구나 다 알것이다. 이번 글에서는 Boundary Value Problem 을 풀 때, trigonometric function 이 어떻게 활용되는지 보자.





이 글을 읽기전에 우선 [열전도 (Heat Conduction)] Boundary Value Problem, Sturm-Liouville problem 를 읽어오시길 바랍니다.

Trigonometric Function이 orthogonal functions인 Boundary Value Problem

지난 글에서 Boundary value problem 이 따르는 미분 방정식에 대해서 보았다. (참고글: [열전도 (Heat Conduction)] Boundary Value Problem, Sturm-Liouville problem) 이번 글에서는 p(x)=1, q(x)=0, w(x) =1 인 아래와 같은 미분방정식만 생각해보자.

\frac{d^2 X(x) }{dx^2} +\lambda X(x) = 0

이 미분방정식은 [0,L] 에서 정의되었다고 가정하자.

Boundary Condition

이 미분방정식의 Boundary Condition 은 아래와 같다고 해보자.

X=0 \text{ at } x=0,L

위 Boundary condition 이 의미하는 것은 boundary 에서 온도가 이미 정해져 있다는 뜻이다. (참고글: [열전도 (Heat Conduction)] Boundary condition 의 종류)

Boundary Value Problem 풀이

이제 이 Boundary Value Problem을 풀어보자. Eigen Value \lambda = \beta^2 라 하자. 그러면 eigen function 은 아래와 같이 삼각함수의 결합꼴로 생겼다.

X(x) = C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x

경계조건 X(0)=0 에 따라 아래의 식이 성립한다.

X(0) = C_1 = 0

경계조건 X(L)=0 에 따라 아래의 식이 성립한다.

X(L) =C_2 \sin \beta L =0

C_2 = 0 이면 trivial solution 이 나오므로 C_2 \neq 0 라 하자. 그러면 \sin \beta L = 0 이므로 \beta_n = \frac{ n \pi } { L} 이다.  그러면 \beta_n , n=1,2,... 에 대응되는 eigen function은 X_n(x) = \sin \frac{ n \pi x}{L} 이다. Norm 은 쉽게 구할 수 있다.

N(\beta_n) = \frac{L}{2}

-출처 – Hahn, D. W., & Özisik, M. N. (2012). Heat conduction. John Wiley & Sons.

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