이번 글에서는 오일러 방법의 오차분석에 대해 알아보자. 아래와 같은 미분 방정식이 있다고 하자.
\frac{dx(t)}{dt} = f(x(t),t) , a\leq t \leq b여기서 가정하기로 f, \frac{\partial}{\partial t}f(x,t), \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)를 bounded라고 하자. 여기서 \Delta= (b-a)/n, t_i = i\Delta+a , i\in {0,1,2,...,n} 이라고 하자. x_0 = x(t_0) 라고 하고 x_{i+1} = x_i + \Delta f(x_i, t_i) 라 하자. x(t_i) 는 미분방정식에 의한 실제 경로이고 x_i 는 오일러 방법을 활용해서 미분방정식을 근사한 것이다. 그러면 아래의 오차는 어떻게 될까?
e_i = x(t_i)-x_i이것을 유도하기 위해 테일러 정리를 사용해보자. 그러면 아래와 같은 \xi_i 가 존재한다.
x(t_{i+1}) = x(t_i) + f(x(t_i), t_i) \Delta +\frac{\partial}{\partial t} f(x(t),t)_{t_i=\xi_i} \Delta^2f, \frac{\partial}{\partial t} f , \frac{\partial}{\partial x} f 가 bounded이므로 \frac{\partial}{\partial t} f(x(t),t) = \frac{\partial }{\partial t} f + \frac{\partial f}{\partial x} f 또한 bounded 이다. 따라서 T_i = \frac{\partial}{\partial t} f(x(t),t)_{t_i=\xi} \Delta^2 라 할 때 T_i 또한 bounded 이다.
이제 이 사실을 이용해서 오차 e_i 를 가늠하자.
\begin{align*} e_{i+1} &= x(t_{i+1})-x_{i+1}\\ &= x(t_i)+ f(x(t_i),t_i)\Delta + T_i -x_i -f(x_i,t_i)\Delta \\ &= (x(t_i)-x_i)+\Delta(f(x(t_i),t_i)-f(x_i,t_i)) + T_i \end{align*}여기서 마지막 줄에 f(x(t_i),t_i)-f(x_i,i) 에 대해 평균값 정리에 의해 x(t_i), x_i 사이에 z_i 가 존재하여 f(x(t_i),t_i)-f(x_i,t_i) = (x(t_i)-x_i)f(z_i, t_i) 를 만족한다. 따라서 e_{i+1} = (x(t_i)-x_i)(1 + \Delta f(z_i,t_i))+T_i =e_i(1 + \Delta f(z_i,t_i))+T_i를 만족한다. 그러므로
|e_{i+1}|\leq(1+M\Delta)|e_i| + M \Delta^2여기서 e_0 = 0 라는 사실을 이용하면 아래를 만족한다.
|e_n|\leq M\Delta^2 \sum_{i=0}^{n-1} (1+\Delta M)^2그러므로 |e_n | \leq \Delta [(1+\Delta M)^n -1 ] \leq \Delta [e^{\Delta M n} - 1] \leq \Delta [e^{M(b-a)}-1]
그러므로 |e_n| = O(\Delta) 임을 알 수 있다.