로그에 대해 알고 계시죠? 그런데, 복소수에 대한 로그를 구할 수 있을가요? 보통 양수에 대해서만 로그를 구했죠. 그런데 실제로는 복소수 전체에 대해서 로그를 정의할 수 있습니다. 이번 글에서는 복소수에 대한 로그함수를 정의해보겠습니다.
복소로그(complex logarithm)
$z\neq 0$인 복소수 $z$에 대하여 $z$는 다음과 같이 표현할 수 있죠.
$$z = \mid z \mid e^{j \angle arg(z)}$$
이것을 이용해서 로그 함수는 아래와 같이 정의하죠.
$$\log (z) = \log \mid z \mid + j \angle arg(z)$$
복소로그의 성질
그렇다면 아래와 같이 로그가 만족하는 중요한 성질을 만족합니다.
$$\log(zw) = \log(z) + \log(w)$$
$$\log(z^a) = a \log(z)$$
principal value of argument
그런데 log함수를 사용할때 주의할점이 있죠.
$$\log (z) = \log \mid z \mid + j \angle arg(z)$$
여기서 $\angle arg(z)$가 애매 모호하죠. 같은 각도여도 $2\pi$ 더해주면 같은 angle이기 때문이죠. 이러한 애매한 점을 피하기 위하여 principal value of argument 라는 것을 정의합니다.
$$Log(z) = \log \mid z \mid + j \angle Arg(z), -\pi < \angle Arg(z) \leq \pi$$
$-\pi$에서 $\pi$라는 사실에 주목해주세요