지난 글에서 homomorphic system 에 대해서 알아보았다. 임의의 연산에 대하여 superposition principal([음성신호처리] Generalized Superposition Principle (일반화된 중첩 원리))을 만족하는 시스을 homomorphis system 을 부른다. ([음성신호처리] Homomorphic system 준동형 시스템) 이 homomorphic system 은 과연 어떻게 생겼을까? 이 시스템을 세개의 시스템으로 분리할 수 있다. homomorphic system 을 어떻게 분리한 형태를 cannonical form of homorphic system 이라고 부르는데 이번에는 cannonical form of homomorphic system 에 대해 알아보자.
Canonical form of homomorphic system
연산 $(\circ_1, \circ_2, \square_1, \square_2)$에 대해 superposition principle 을 만족하는 homomorphic system $H$가 있다고 합시다. superposition princple을 만족하기 때문에 아래와 같은 성질을 만족하죠
$$H(x_1[n] \circ_1 x_2[n] ) = H(x_1[n]) \circ_2 H(x_2[n])$$
$$H(\alpha \square_1 x[n]) = \alpha \square_2 H(x[n])$$
놀랍게도 이 시스템을 세개의 homomorphic system 으로 분리할 수 있습니다. 아래와 같이요.
$$H(x[n]) = D^{-1}_{\circ_2} ( L( D_{\circ_1}(x[n])))$$
$ D_{\circ_1} $는 $(\circ_1, +, \square_1, \cdot)$에 대한 homomorphic system 입니다.
$L$은 linear system 입니다. $(+, + , \cdot, \cdot)$에 대한 homomorphic system 이지요
$D^{-1}_{\circ_2}$ 은 $(+ , \circ_2, \cdot, \square_2)$에 대한 homomorphic system 입니다.
이것을 이용하면 이것저것 할 수 있는데요. 나중에 알아보도록 하겠습니다.