안녕하세요. 이번글에서는 convolution 에 대한 homomorphic system 에 대하여 분석해 보겠습니다. 지난 글에서 homomorphic system ([음성신호처리] Homomorphic system 준동형 시스템) 에 대해서 보았습니다. 그리고 homomorphic system 은 homomorphis system – linear system – homomorphic system 순으로 쪼개진다는 것을 보았죠 ([음성신호처리] Canonical form of homomorphic system). 이번 글에서는 homomorphic system 의 구체적인 예시를 한번 살펴보도록 하겠습니다.
Homomorphic system for convolution
연산 $( *, *, \cdot, \cdot)$에 대한 homomorphic system $\mathcal{H}$([음성신호처리] Homomorphic system 준동형 시스템)이 있다고 합시다. 여기서 $*$는 convolution 을 의미하고 $\cdot$는 곱하기를 의미합니다.
Canonical form of homomorphic system for convolution
위에서 언급한 homomorphic system $\mathcal{H}$ 은 아래와 같이 세개의 시스템의 합성으로 쪼개질 수 있죠.([음성신호처리] Canonical form of homomorphic system)
$$H = D_{*}^{-1} \circ L \circ D_{*}$$
여기서 $D_{*}, D_{*}^{-1}$은 $(\cdot, +, \cdot, \cdot)$에 대한 homomorphic system 입니다. 그리고 $\mathcal{L}$은 선형시스템입니다.
예시
예시를 보도록 하겠습니다. 여기서 $\mathcal{Z}$는 z 변환을 의미하고 $\mathcal{Z}^{-1}$의 z변환의 역변환을 의미합니다.
1. $D_* (x[n]) = \log \mathcal{Z}(x[n])$, $D_*^{-1} (x[n]) = \mathcal{Z}^{-1} (\exp (x[n]))$, $L=id$
2. $D_* (x[n]) = \mathcal{Z}^{-1}(\log \mathcal{Z}(x[n]))$, $D_*^{-1} (x[n]) = \mathcal{Z}^{-1} (\exp (\mathcal{Z}(x[n])))$, $L=id$
1.의 경우는 log spectrum 이고 2의 경우에는 cepstrum(Cepstrum (켑스트럼)의 정의)과 관계 있네요.