일반화된 중첩원리에 대해 알아보자. 중첩원리(superposition principle)에 대해서는 잘 들어봤을 것 같다. LTI 시스템의 경우 더하기는 더하기로 분리되고 곱하기는 곱하기로 분리되는 성질을 갖고있다.LTI 시스템에 대하여 이러한 성질은 superposition principle이라고 하는데, 일반화된 정의인 generalized superposition principle에 대해 알아보자.
Generalized superposition principle
어떤 시스템 $H$이 있다고 하자. 그리고 신호사이의 연산인 $\circ_1$과 $\circ_2$와 신호와 스칼라사이의 연산인 $\square_1$, $\square_2$이 있다고 하자. 이 시스템이 다음과 같은 성질을 만족하면 이 시스템이 연산 $(\circ_1, \circ_2, \square_1, \square_2)$에 대해 superposition principle을 만족한다고 말한다.
$$H(x_1[n] \circ_1 x_2[n]) = H(x_1[n]) \circ_2 x_2[n])$$
$$H(\alpha \square_1 x[n] ) = \alpha \square_2 H(x[n])$$
여기서 $\circ_1, \circ_2, \square_1, \square_2$등은 어떠한 연산이라도 올 수 있다는 점에서 generalized superposition principle 이라고 부른다.
Generalized superposition principle의 예시
LTI 시스템 $\mathcal{L}$이라 표시하자. $\circ_1 = +, \circ_2 = +, \square_1 = \cdot , \square_2 = \cdot$ 에 대해서 superposition principle 만족한다.
푸리에 변환
이산시간 푸리에 변환은 $\circ_1=*$(컨볼루션), $\circ_2=\cdot$, $\square_1 = \cdot$, $\square_2 =\cdot$에 대해 superposition principle을 만족한다.