주기가 $N$인 이산 신호 $x[n]$의 푸리에 급수(Fourier Series)로 표현 가능 하다. 이산 푸리에 급수 식은 다음과 같다.
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi k}{N} n}$$
$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi k}{N} n}$$
$X[k]$가 푸리에 계수임을 강조하기 위해 다음의 기호를 사용한다.
$$x[n] \stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} X[k]$$
이산푸리에 급수(Discrete Fourier Series, 이하 DFS로 표현)은 여러가지 성질을 가진다.
DFS의 성질
Linearity
$$ax_1[n]+bx_2[n] \stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} aX_1[k]+bX_2[k]$$
이산 신호의 선형결합을 DFS하면 DFS가 선형적으로 쪼개진다는 내용이다.
Duality
$$X[n] \stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} Nx[-k]$$
Shift of a sequence
$$x[n-m] \stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} X[k]e^{-j\frac{2\pi k}{N}m}$$
$$e^{j\frac{2\pi n}{N}m} x[n] \stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} X[k-m]$$
시간대역에서 시간의 이동이 있으면 주파수 대역에서 phase변화가 있다는 내용이고 두번째는 duality에 의해 나온 결론이다.
Periodic Convolution
$$ \sum_{m=0}^{N-1} x_1 [m] x_2 [n-m] \stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} X_1 [k] X_2 [k]$$
여기서 잠시 주목해야 할것이 Convolution이 아닌 한주기에서만 계산한 Periodic Convolution 이다. Convolution 에서는 모든 점에서 $x_1 [m] x_2[n-m]$값을 더한 반면에 두 주기 신호에 대해서는 한 주기인 0에서 N-1까지의 곱을 더했다. 0에서 N-1주기에서만 계산한 이유는 0에서 N-1까지의 곱의 합을 구하면 나머지 구간에서 곱의 합은 일정하게 반복되기 때문이다. 그림으로 한번 살펴보자.
$x_1$과 $x_2$의 Periodic convolution을 구하기 위해 $x[-m]$,$x[-(m-1)]$,$x[-(m-2)]$등을 구했다. $x1$ $x2$ 간의 convolution 을 구하게 될 경우 $x1$과 $x2$의 주기성에 의해 0에서 N-1 까지의 곱의 합 이 반복되는 것을 확인 할 수 있다. 같은 값을 계속 구해서 더하면 수렴이 보장 안되고 과도(?)하기 때문에 0에서 N-1까지에서만 periodic convolution 을 한다.
Reference
Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer “Discrete-Time Signal Processing”