이산 시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform)은 신호 x[n]을 주파수 영역의 함수로 변환 하는 함수이다. DTFT를 이용하면 신호가 가진 여러 주파수 중 원하는 주파수만 줄이고 살리고 등을 할 수 있어 굉장히 유용하다. 오늘은 푸리에 변환이 무엇인지 알아보고 푸리에 변환과 관련된 용어들을 정리해보겠다.
이산 시간 푸리에 변환(DTFT, Discrete Time Fourier Transform)의 정의
신호 x[n]의 DTFT $X(e^{j\omega})$는 다음과 같이 정의된다.
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}\tag{analysis}\label{analysis}$$
신호 $x[n]$과 신호 $e^{j\omega n}$의 내적으로 정의된다. 이것은 신호 $x[n]$이 $e^{j\omega n}$과 얼마나 유사한지를 보는 것이다. 신호 $e^{j\omega n}$는 주파수가 $\omega$인 신호라는 점을 유념하면, $X(e^{j\omega})$는 신호 $x[n]$가 주파수 $\omega$ 성분을 얼마나 갖는지를 알려준다. 주파수 $\omega$성분을 얼마나 가졌는지라는 생각으로 \ref{analysis}라고도 표기했다.
이산 시간 푸리에 역변환
이산시간 푸리에 역변환은 다음과 같다.
$$ x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n} d\omega \tag{synthesis}\label{synthesis}$$
앞서 말햇듯이 $X(e^{j\omega})$는 $x[n]$과 $e^{j\omega n}$이 얼마나 유사한지를 보는 식이였다. 그러면 $x[n]$을 각 주파수별로 나눴을 때 혹은 $e^{j\omega n}$의 합으로 생각할때, 각 $\omega$에 대하여 $X(e^{j\omega})e^{j\omega n}$은 $x[n]$의 $e^{j\omega n}$ 성분이라고 볼수 있다. $x[n]$은 $X(e^{j\omega})e^{j\omega n}$를 합하면 얻어진다고 생각할 수 있는데 주파수 영역은 연속영역이니까 적분을 해서 $x[n]$을 얻을 수 있다. $e^{j\omega n}$을 합성해서 $x[n]$을 만든 꼴 이므로 \ref{synthesis}라고 불렀다.
DTFT 관련 용어
spectrum : 라틴어로 보이는 것 이라는 뜻을 가짐, 여러 데이터를 한눈에 볼 수 있게 만든다는 의미로써 쓰인다.
Magnitude Spectrum : $|X(e^{j\omega})|$
Phase Spectrum : $\angle X(e^{j\omega})$
Log Magnitude Spectrum(db) : $20\log_{10} |X(e^{j\omega})|$