이자론의 기초 인 이자, 원금, 종가, 종가함수, 단위종가함수에 대해 알아보자.
은행과 나의 관계
이자론을 이해하기 위해서는 은행과 나의 관계를 이해하면 쉽다. 나는 은행에 돈을 맡기고 일정시간이 지나면 이자가 쌓인다. 왜일까? 내가 가진 돈을 은행에 묵혀둔다는 것은, 내가 그 돈으로 할 수 있는 것이 줄어서 손해가 날 수 있다. 그리고 은행은 그 돈을 받아서 다른일을 해서 돈을 벌 수 있다. 내 돈을 가지고 은행은 돈을 벌었고 거기서 특정양만큼 돈을 줌으로써 (이자) , 내가 그 돈을 맡긴 동안 발생할 수 있었던 손해를 보상해주는 것이다. 이 개념을 머리에 새겨놓으면 얘기하기가 쉬워진다.
원금 (principal)
원금은 내가 맡긴 시점에 순수히 맡긴 돈의 양이다. 은행에 맡긴돈이 10,000원이라면 10,000원이 원금이다.
이자 (interest)
이자는 앞에서 은행의 비유를 들었듯이, 돈을 맡게된 주체가 돈을 맡긴 사람에게 주는 소득이다.
종가 (accumulated value)
종가는 간단하다. 원금 + 이자 이다. 종가를 보면 맡긴 원금으로 부터 얼만큼 불어놨는지 알 수 있다. 종가를 원리합계라고 한다.
종가함수 (amount function)
원금을 맡겼을 때 특정시간이 흘렀다고 하자. 많은 시간이 흘렀을때 이자와 적은 시간이 흘렀을 때 이자는 분명히 다를것이다. 시점 t에서의 원금과 이자의 합을 아래와 같은 종가함수로 표현한다.
$$A(t) : t \text{ 시점의 원금과 이자의 합}$$
단위 종가 함수 (accumulation function)
원금으로부터 얼마나 이자가 불었는지 그 비율을 보기 위한 함수다. 아래와 같이 정의한다.
$$a(t) = A(t)/A(0)$$
$t$시점의 종가와 원금의 비율을 의미한다. 그러면 t=0일때 $a(0)=1$이다. t가 흘러감에 따라 $a(t)$의 값을 보면 이자가 얼마나 쌓였는지 볼 수 있다. 왜냐면!
$$A(t) = A(0) + (t \text{시점 까지 쌓인 이자})$$
$$a(t) = A(t)/A(0) = 1 + (t \text{시점 까지 쌓인 이자})/ A(0)$$
위와 같은 식이 성립하기 때문에 원금에 비해 이자가 얼마나 쌓였는지 볼 수 있다.