랜덤프로세스가 Wide Sense Stationary(WSS)라는 것의 의미는 이 글에서 알 수 있다.(Wide Sense Stationary(WSS) process, 넓은 의미의 안정성 프로세스의 의미) 랜덤프로세스는 어떤 신호의 입력이기도 하고 출력이기도 한데, 어떤 시스템의 입력이 WSS 프로세스면 출력은 어떻게 될까? 그 시스템이 LTI 시스템이라면? 이번 글에서는 LTI 시스템의 입력이 WSS 프로세스일 때 출력또한 WSS 프로세스임을 보이도록 하겠다.
LTI 시스템의 입력이 WSS이면 출력 또한 WSS 증명
impulse resposne(임펄스 응답)이 h[n]인 LTI 시스템에 WSS인 x[n]을 입력을 넣는다고 하자. 이 때 출력이 y[n]이라고 하면 이 출력 y[n] 또한 WSS 임을 증명하자. 이것을 증명하기 위해서는 두가지를 보여야 한다. E[y[n]]이 n에 의존하지 않음과 autocorrelation $E[y[n+m]y[n]]$이 $m$에만 의존함을 보여야 한다. 이것을 차례대로 증명하겠다.
$E[y[n]]$이 n에 의존하지 않음을 증명
$y[n]$은 LTI system의 출력이므로 $y[n] = \sum_{k} h[k] x[n-k]$임을 유념하고
$$\begin{align} E[y[n]] &= E[\sum_{k}h[k]x[n-k] ] \\ &= \sum_{k} h[k] E[x[n-k]] \\&=\sum_{k} h[k] m_X \end{align}$$
$x[n]$이 WSS 임이므로 $m_X = E[x[n]]$임을 활용하였다.
Autocorrelation이 시간의 길이에만 의존함을 증명
$$\begin{align} E[y[n]y[n+m]] & = E[\sum_k h[k]x[n-k] \sum_l h[l]x[n+m-l]] \\ &= E[\sum_k \sum_l h[k] h[l] x[n-k] x[n+m-l]] \\&= \sum_k \sum_l h[k] h[l] \phi_{xx} [m+k-l]\end{align}$$
여기서 x[n]이 WSS이므로 autocorrelation이 시간의 간격에만 의존한다는 사실을 사용하였다.
결론
LTI 시스템에 WSS인 입력이 들어가면 WSS인 출력이 나온다.