절댓값 함수 |x|의 미분

절댓값 함수 |x|의 미분에 대해 알아보겠습니다.

$f(x) = |x|$ 라 합시다.

$x>0$ 인 경우 $|x|$ 미분

$x>0$ 일 경우 $f(x) = |x| = x$ 입니다. 따라서

\frac{d}{dx} |x| = \frac{d}{dx} x = 1, x>0

$x<0$ 일 경우 $f(x) = |x| =-x$ 입니다. 따라서

\frac{d}{dx} |x| = \frac{d}{dx} -x = -1, x<0

결국엔 $\lim_{h\to 0} |h|/h$ 의 값을 구해야 합니다. 이 값이 존재하는지 안하는지 보려면 우극한, 좌극한부터 살펴보면 되겠죠.

\lim_{h \to 0^+} |h|/h =\lim_{h \to 0^+} h/h = 1

$\lim_{h\to} |h|/h$ 의 우극한 값과 좌극한 값이 다릅니다. 따라서 $|x|$ 는 $x=0$ 에서 미분 불가능합니다.

\lim_{h \to 0^-} |h|/h =\lim_{h \to 0^+} -h/h = -1