확률론에서 Conditional Expectation 은 굉장히 중요한 개념이다. 한국말로 하면은 조건부 평균 정도로 번역가능하다. 어떤 조건이 주어졌을 때 평균을 구한다는 의미라고 보면 되겠다. 계산을 위해 사용하는 Conditional Expectation 의 정의는 널리 알려져 있으니 생략하고 수학적으로 엄밀한 정의를 알아보자.
Conditional Expectation 의 정의
$X : \Omega \to \mathbb{R}$를 랜덤변수(Random Variable)이라고 하자. $\mathcal{F}$를 $\Omega$의 subset들로 구성된 $\sigma$-field 라고 하자. 이때 $X$의 $\mathcal{F}$에 대한 Conditional Expectation $E\left[X | \mathcal{F} \right]$은 다음을 만족하는 $\Omega$에서 정의된 Random Variable 이다.
$$E[X \mathbb{1}_A] = E\left[ E\left[X | \mathcal{F} \right] \mathbb{1}_{A} \right] \text{ for all } A \text{ in } \mathcal{F}\tag{1}\label{1}$$
여기서 $\mathbb{1}_A$는 $A$에서 1을 갖고 아닌 곳에서 0인 random variable 이다.
실제로 계산을 할 때 $E\left[X | Y\right]$를 많이 구한다. (\ref{1})을 보면 Conditional Expectation 은 Random Variable과 $\sigma$-field에 관한 정의이다. 그러다보니 $E\left[X | Y\right]$의 의미는 불분명해진다. !! 그러나!사실은 기호상의 편의를 위해 $E\left[X | \sigma (Y) \right]$를 대신해서 $E\left[X | Y\right]$를 사용한다. 이때 $Y$는 Random Variable이 아닌 Random Vector가 와도 된다.