함수 $f(x)$가 있다고 합시다. 때때로 함수 $f(x)$의 $x=a$에서 미분을 구하려고 합니다. 과연 미분은 어떻게 정의될까요? 미분을 정의하는 방법에는 여러가지가 있습니다. 가장 기본적으로 극한으로 정의하는 방법이 있습니다. 그런데, 미분의 원래 정의를 이용하면 이것저것 증명하는데에 있어서 불편함이 있습니다. 따라서 저는 미분에 대한 정의를 어떤 함수에 대해 정의해보겠습니다.
미분에 대한 또다른 정의
함수 $f(x)$가 있다고 합시다. 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능할 필요충분조건은 다음의 조건을 만족하는 함수 $\epsilon(\cdot)$와 어떤 실수 $L$가 존재하는 것이다.
1. 충분히 작은 $h$에 대하여 $f(x+h)-f(x)-L\times h =\epsilon (h) h $
2. $\epsilon(0)=0$이고 $\lim_{h\to 0} \epsilon(h)=0$
위의 두가지 조건을 만족할 때 $f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 말하고 $f^\prime(a) = L$로 정의된다.
미분의 원래 정의와 동치인지 증명
서로다른 정의 같아 보이지만 미분에 대한 정의와 동치 인지 확인해봐야겠다.
$\lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = f^\prime(a)$를 만족할 때
$\epsilon(h) = \frac{ f(x+h)-f(x)}{h}$라 정의하자. 그리고 $L=f^\prime(a)$라 두면 증명완료된다.
$f(x+h)-f(x)-L\times h =\epsilon (h) h , \lim_{h\to 0}\epsilon(h)=\epsilon(0)=0$일 때
식을 계산하면 아래와 같아 진다.
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} – L = \epsilon(h)$$
$\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0$ 이므로 아래와 같은 식이 성립한다.
$$\lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = L$$
따라서 미분계수가 존재하고 $f^\prime(a) = L$입니다.
정리
미분에 대한 새로운 정의를 보았습니다. 그전에 알고 있떤 극한에 대한 정의와 동치임도 보였습니다. 이 사실을 이용하면 미분관련 증명할 때 여러가지 다양하게 할 수 있습니다. 그 이야기는 나중에 보도록 하죠.