지수함수의 극한 (e^h-1)/h 증명

지수함수의 극한 $\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} =1$ 을 증명하겠다. 근데 딱히 엄밀하진 않다. e는 오일러 상수로써 아래와 같이 정의된다.(오일러 상수의 정의)

\lim_{h\to 0 } (1+ 1/h)^h

이 사실을 이용하여 증명해보겠다.

$\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} =1$ 증명

\begin{align} \lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} & = \lim_{h\to 0} \frac{\lim_{x \to 0} (1+x)^{h/x}-1}{h}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{\lim_{h \to 0} (1+h)^{h/h}-1}{h}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{1+h-1}{h}\\&=1\end{align}