안녕하세요. 지수함수 $e^x$는 뭔가를 계산할때 많이 나오는 녀석이고 굉장히 중요합니다. 이런 중요한 지수함수의 성질을 몇가지 알아두면 수학공부할때 편해집니다. 이번글에서는 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}$의 값을 구해보도록 할게요. ! 결론부터 볼께요
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}$값
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\tag{1}\label{1}$$
증명과정
$y=e^x – 1$치환할게요. 그러면 수식변형을 통해 $x = \ln(1+y)$임을 알수 있죠. 그리고 $x \to 0$일때 $y \to 0$이라는 사실에 주목하여서 식 $\ref{1}$의 좌변을 다음과 같이 쓸수 있습니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(1+y)}\tag{2}\label{2}$$
위의 식 \ref{2}에서 우변의 값이 1 이라는 사실은 알려져있습니다.