표준 가우시안 분포 (Gaussian distribution)의 MGF (Momemnt genrating function)을 구해보도록 하겠습니다. 표준 가우시안 분포란 평균이 0이고 분산이 1인 가우시안 분포를 의미합니다.
표준 가우시안 분포의 MGF 계산
$X$를 표준 가우시안 분포라고 합시다. $X$가 따르는 분포는 $\mathcal{N}(0,1)$이라 쓰면 적당하겠네요. 이제 MGF 를 계산하겠습니다.
$$M_X(t) = E[e^{tX}] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}e^{-tx} dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}-tx} dx$$
마지막 식에 있는 $e^{-\frac{x^2}{2}-tx}$를 보겠습니다. $e^{-\frac{x^2}{2}-tx}$ 안에 있는 $-\frac{x^2}{2}-tx$를 간단히 만들어 보겠습니다.
$$-\frac{x^2}{2}-tx = -\frac{(x-t)^2}{2} + \frac{1}{2}t^2 $$
위의 식을 이용하면 우리가 구하려고 했던 MGF $M_X(t)$는 다음과 같이 바뀝니다.
$$M_X(t) = e^{\frac{1}{2}t^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-t)^2}{2}}dx $$
적분안에 함수를 잘 살펴보면 $\mathcal{N}(t,1)$의 pdf임을 알 수 잇습니다. 그래서 적분은 1이되고 이에따라 MGF는 아래와 같이 구할 수 있습니다.
$$M_X(t) = \exp\left(\frac{1}{2}t^2\right)$$