디지털 신호처리를 공부하다보면 푸리에 변환은 숨쉬듯이 다룰줄 알아야 한다. 푸리에 변환의 몇가지 성질도 숨쉬듯이 다룰줄 알아야 되는데 이번에는 푸리에 변환의 특징중 하나인 공액 대칭성에 대해 알아보겠다. 어렵지 않지만 자주 쓰이니까 보도록 하자.
푸리에 변환의 공액 대칭성 conjugate symmetric property of fourier transform
실수값만 갖는 신호 h[n]에 대해 생각해보자. 다음과 같은 성질을 푸리에 변환의 공액 대칭성이라고 한다.(공액 대칭성의 전부인지는 모르겠다.)
$\begin{align*} H^*(e^{j\omega}) = H(e^{-j\omega}) \tag{1}\label{1} \\ |H(e^{j\omega})| = |H(e^{-j\omega})|\tag{2}\label{2}\end{align*}$
(\ref{1})의 의미는 푸리에변환의 켤레는 주파수를 대칭시키면 동일하다는 의미이고
(\ref{2})는 푸리에변환의 magnitude는 even function 임을 의미한다.
h[n]이 실수일때 성립한다는 것을 기억하자.
증명
(\ref{1}) $H(e^{j\omega}) = \sum_{n} h[n]e^{-j\omega n}$이므로 $H^*(e^{j\omega}) = \sum_{n} h[n]e^{j\omega n} = H(e^{-j\omega})$
(\ref{2}) $|H(e^{j\omega})| = |H^*(e^{j\omega})| = |H(e^{-j\omega})|$