푸리에 변환은 여러모로 쓸모가 많다. 수학적으로는 함수들간의 매핑(mapping)을 의미한다. 신호 및 시스템(signals and system)및 공학분야에서는 시간영역(time domain)의 신호를 주파수영역(frequency domain)에서 해석을 하기 위해서 푸리에 변환(fourier transformation)을 한다. 푸리에 변환을 이용해 해석을 하기 위해서는 푸리에 변환의 계산은 필수적이다. 적분을 해서 푸리에 변환을 하면 되겠지만 푸리에 변환의 몇가지 성질을 이용하면 푸리에 변환을 쉽게 구할 수 있고 해석이 용이해진다. 이번에는 신호 $x(t)$,$x(n)$가 시간 이동(Time Shift)을 할 때 푸리에 변환을 구해보고 그 의미를 해석해보자
시작하기전 기호 정리
신호와 그 신호의 푸리에 변환의 관계를 다음과 같이 표기하자.
$$\begin{align}x(t) \stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow} X(j\Omega) & \tag{Continuous Time}\label{1} \\ x[n] \stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega}) & \tag{Discrete Time}\label{2} \end{align}$$
화살표 왼쪽이 신호이고 오른쪽이 신호의 푸리에 변환이다. 연속시간 신호인 경우와 이산시간 신호인 경우를 분리해서 정리해봤다.
시간 이동(Time Shift) 성질
$$\begin{align}x(t-t_0) \stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow} X(j\Omega) e^{-j \Omega t_0} \\ x[n-n_0] \stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})e^{-j \omega n_0}\end{align}$$
시간 이동 성질의 의미
시간축에서 변화는 푸리에 변환의 phase에서 변화가 나타난다. 왜 그러냐면 다음을 만족하기 때문이다.
$$X(j\Omega) e^{-j \Omega t_0} = \left|X(j\Omega)\right|e^{(j\sphericalangle X(j\Omega) -t_0 \Omega)}$$
시간 이동 성질의 증명
연속시간 신호의 경우에 대해 증명과정은 다음과 같다.
$$\int_{-\infty}^{\infty}x(t-t_0)e^{-j\omega t} dt = e^{-j\omega t_0}\int_{-\infty}^{\infty}x(t-t_0)e^{-j\omega (t-t_0)} dt=e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$$