푸아송 분포(Poisson distribution)의 평균(mean) 구하기 증명


푸아송 분포 (Poisson distribution)의 평균(mean)을 구해보겠습니다.

푸아송 분포 (Poisson distribution)의 확률밀도함수(probability mass function)

푸아송 분포 정리해보면 아래와 같습니다.

$$p_\lambda (n) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!}$$

푸아송 분포의 평균 구하기 $E[X] = \lambda $

모수가 $\lambda$인 푸아송 분포를 따르는 확률변수를 $X$라 합시다. 결론부터 말하면 이 $X$의 평균은 아래와 같습니다.

$$E[X]=\lambda$$

$\lambda$와 동일하죠. 그러면 평균은 어떻게 구할 수 잇을까요?

푸아송 분포 평균 구하기 증명

$$E[X] = \sum_{n=0}^\infty p_\lambda(n) n = \sum_{n=0}^\infty n e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!}$$

여기서 $n=0$인 부분을 제거하면 아래와 같이 식이 바뀌고, 조작을 통해서 아래와 같은 식이나옵니다.

$$E[X] = \sum_{n=1}^\infty n e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{(n-1)!}= e^{-\lambda} \sum_{n=0}^\infty \lambda^{n}/n!$$

여기서 $\sum_{n=0}^\infty \lambda^{n}/n! = e^\lambda$ 라는 사실을 사용하면 아래와 같이 증명됩니다.

$$E[X] = \lambda $$

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