이번 글에서는 합성 함수 미분법에 대해 자세히 소개해 드리겟습니다.

합성 함수 미분법이란, 합성함수의 미분값을 구하는 방법입니다. 합성 함수의 미분값구하기 위해 연쇄 법칙(Chain Rule)을 적용합니다.  함수 y = f(g(x))의 미분은 연쇄법칙에 따라 다음과 같이 계산할 수 잇습니다.

 $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$$

 위 식에서 $\frac{dy}{dg}$는 함수 y를 g에 대해 미분한 것이며, $\frac{dg}{dx}$는 함수 g를 x에 대해 미분한 기호입니다.

예를 들어, 함수 $y = \sin(x^2)$는 다음과 같이 미분할 수 있습니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$$
위 식에서 $\frac{d(x^2)}{dx}$는 $2x$입니다.

또 다른 예시로, 함수 $y = \sin(3x^2 + 2x + 1)$을 다음과 같이 연쇄 법칙을 이용해 미분할 수 있어요.

 $$\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = (6x+2)\cos(3x^2+2x+1)$$

위 식에서 $\frac{du}{dx}$는 $6x+2$가 됩니다.  따라서 계산하기 쉬워지죠.

합성 함수 미분법은 다른 미분법들과 결합하여 다양한 문제를 해결할 때 유용하게 사용됩니다. 예를 들어, 단위 변화율과 함께 나타나는 함수의 미분값을 구할 때 합성 함수 미분법을 사용할 수 있습니다.
$$\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial A}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$
$$5 = y\frac{dx}{dt} + x\frac{dy}{dt}$$
$$\frac{dx}{dt} = \frac{5 – xy\frac{dy}{dt}}{y}$$
$$\frac{dy}{dt} = \frac{5 – xy\frac{dx}{dt}}{x} $$

합성 함수 미분법(Chain Rule)은 미적분학에서 중요한 개념입니다. 합성 함수의 미분값을 구할 때는 연쇄 법칙을 사용합니다. 연쇄법칙을 통해 통해 합성 함수의 미분값을 구할 수 있습니다.

합성 함수 미분법은 다른 미분법들과 결합하여 다양한 문제를 해결할 때 유용하게 사용됩니다. 그 중에서도 기계학습, 인공지능, 빅데이터 등 데이터 분석 분야에서 매우 중요한 역할을 합니다. 합성 함수 미분법을 잘 이해하고 응용할 수 있으면, 데이터 분석 분야에서 좀 더 높은 수준의 분석을 수행할 수 있을 것입니다.

 출처 – openAI 의 chatgpt 가 생성한 글에서 조금의 수정