이번 글에서는 open ball (열린공)과 open set (열린집합)에 대해 알아보겠습니다. general 한 개념말고 euclidean 공간에서 L2 norm에 의해 정의된 open ball (열린공)과 open set (열린집합)에 대해서 알아보겠습니다. 이 글을 차분히 다 보신다면 open ball (열린공)과 open set (열린집합)의 개념에 대해 알 수 있을 겁니다. 자 그러면 이제 시작해보겠습니다.
Open ball (열린공)과 open set (열린집합)
유클리디안 공간 \mathbf{R}^n 에 대해서만 다루고 있습니다. \mathbf{x} \in \mathbf{R}^n 에 대해서 \mathbf{x} 의 길이는 L2 norm으로써 정의됩니다. \mathbf{x} = (x_1,x_2,...,x_n) 이라면 아래와 같이 정의되죠.
\lVert x \rVert_2 = \sqrt{ \sum_{i=1}^n x_i^2}Open ball (열린공)의 정의
이제 L2 norm을 이용해서 open ball (열린공)을 정의하겠습니다. \mathbf{x} \in \mathbf{R}^n 라고 합시다. \mathbf{x} 와 사이의 거리가 r>0 보다 작게 되는 point 들을 열린공으로써 정의합니다. 쉽게 말하면 \mathbf{x} 로부터 반경 r 에 있는 원소들을 모아둔 것을 open ball 이라고 부릅니다. 아래와 같이 정의됩니다.
\text{ $\mathbf{x}$ 중심으로 하는 반지름이 $r>0$ 인 open ball}: B_r ( \mathbf{x}) = \{ \mathbf{y} \in \mathbf{R}^n \mid \lVert x-y \rVert_2 < r \}왜 열렸다고 표현할까요? B_r (\mathbf{x}) 는 이것의 경계를 포함하고 있지 않기 때문에 열렸다고 생각을 합니다.
Open set (열린집합)의 정의
U \subset \mathbf{R}^n 이라고 합시다. U 의 어떤점을 찍었을 때 이 점을 중심으로 어떤 open ball 이 U 안으로 들어가면 U 를 open set (열린집합)이라고 부릅니다.
U \text{ is open set in } \mathbf{R}^n \Longleftrightarrow \text{ 어떤 $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$ 에 대해서도 } r >0 이 존재하여 B_r(\mathbf{x}) \subset U