Liptschitz continous 에 대해 알아보겠습니다. 한국말로 하며는 립시츠 연속인데요. 립시츠 연속이 무엇인지 알아보겠습니다. Liptschitz continuous 는 어떤 미분방정식의 해가 존재하기 위한 충분조건으로 많이 쓰이고 있습니다. 그이외에 Liptschitz continuous 이라는 조건이 있다면 이런저런 좋은 성질들을 만족하죠. 이제 본격적으로 Lipschitz continuous 가 무엇인지 알아보겠습니다. 그리고 이글을 보기전에 Liptschitz continous에 관한 영상을 보고 오시는 것을 추천합니다.
Liptschitz Continuous (립시츠 연속)에 대해 알아보자
이제 본격적으로 Liptschitz Continuous 에 대해 알아보겠습니다. D \subset \mathcal{R}^n 라고 합시다. 그리고 함수 f: D \to \mathcal{R}^m 에 대해 생각해봅시다. 여기서 그리고 기호를 하나 도입하면요 \lVert \cdot \rVert 는 L2 norm을 의미합니다. 이제 립시츠 연속을 알기 위한 최소한의 지식은 쌓였습니다.
Liptschitz Continuous (립시츠 연속)의 정의
다음과 같은 조건을 만족하는 K \in \mathcal{R} 가 있을 때 f 가 D 에서 Liptschitz Continuous (립시츠 연속)이라고 말합니다.
\text{For all $x,y\in D $, } \lVert f(x) - f(y) \rVert \leq \lVert x-y \rVert
Liptschitz Continuous (립시츠 연속)의 의미 및 응용
립시츠 연속의 의미는 무엇일까요? 일단은 위의 식에서 관찰 할 수 있다시피 립시츠 연속인 함수는 연속함수라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 함수 값의 차이 f(x)-f(y) 는 입력 값의 차이 x-y에 의해 bounded 된다는 것도 알 수 있습니다. 이러한 Lipschitz continuous 는 언제 사용될까요? 대표적으로 Stochastic Differential Equation 의 해의 존재성과 유일성에 대해 얘기할 때 많이 쓰입니다.