확률변수가 X,Y 두개가 있다고 하자. 하나의 확률변수가 주어졌을 때 다른 하나의 확률변수의 확률질량함수와 확률밀도함수인 조건부확률밀도함수와 조건부확률질량함수의 정의와 의미)를 구할 수 있다. 이렇게 조건부확률질량함수와 조건부확률밀도함수는 확률질량함수와 확률밀도함수와 같은 역할을 한다. 확률질량/밀도를 이용해 기대값을 정의하듯 조건부확률질량/밀도를 이용하여 조건부 기대값을 정의할 수 있다.
조건부 기대값(Conditional Expectation)
X,Y 가 확률변수 일 때, Y가 주어질 때 X의 기대값이 조건부 기대값을 다음과 같의 정의 할 수 있다.
$$E[X | Y=y] = \begin{cases} \sum_x xp_{X|Y} (x | y) \text{ X,Y 가 discrete} \\ \int xf_{X|Y} (x|y) dx \text{ X,Y 가 continuous} \end{cases}$$
X에 대한 기대값 뿐만 아니라 X에 대한 함수 g(X)에 대한 조건부 기댓값 또한 정의 가능하다.
$$E[g(X) | Y=y] = \begin{cases} \sum_x g(x)p_{X|Y} (x | y) \text{ X,Y 가 discrete} \\ \int g(x)f_{X|Y} (x|y) dx \text{ X,Y 가 continuous} \end{cases}$$
확률변수로써 조건부 기댓값
조건부 기대값을 함수 $q(y) = E[X | Y=y]$로써 생각할 수 있다. y 자리에 확률변수 Y를 대입하면 확률변수 $q(Y)$로써 조건부 기대값을 해석 할 수 있다. 확률변수로써 조건부 기대값은 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$q(Y) = E[X|Y]$$