확률미분방정식(SDE) 의 평균(Mean) 과 공분산(Covariance), stochastic differential equation

Mean and Covariance of Stochastic Differential Equation

확률미분방정식 (SDE, Stochastic Differential Equation)의 Mean과 Covariance를 구해보겠습니다.

SDE (Stochastic Differential Equation)의 기본 형태

SDE는 기본적으로 아래와 같은 모습을 가졌지요.

\begin{align} d \mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) dt + \mathbf{G}(\mathbf{x}, t) d \mathbf{w} \end{align}

여기서 \mathbf{x}(t) 는 column vector로 구성된 D-차원의 stochastic process 이고 \mathbf{w}(t) 는 D-차원의 Brownian motion입니다. 예시로는 Langevin Dynamics 가 잇습니다.

SDE(Stochastic Differential Equation)의 평균(Mean) 과 공분산(Covraince)

아래와 같이 SDE의 평균과 공분산을 정의해봅시다.



\begin{align} \mathbf{m}(t)& = E[\mathbf{x}(t)] \\ \mathbf{\Sigma}(t)& = E\left[ \left(\mathbf{x}(t)-\mathbf{m}(t)\right) \left(\mathbf{x}(t)-\mathbf{m}(t)\right)^T \right]\end{align}

그러면 신기하게도 이 \mathbf{m}(t) , \mathbf{\Sigma}(t)는 아래의 미분 방정식을 만족합니다. [1]

\begin{align} \frac{d \mathbf{m}}{dt} &= E\left[ \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) \right]\\ \frac{d\mathbf{\Sigma}}{dt} & = E\left[ \mathbf{f} (\mathbf{x}, t) (\mathbf{x} - \mathbf{m})^T \right] + E\left[ (\mathbf{x} - \mathbf{m})  \mathbf{f}^T (\mathbf{x}, t) \right] + E\left[\mathbf{G}(\mathbf{x}, t)\mathbf{G}^T(\mathbf{x}, t)\right]\end{align}

도움이 되는 글

Stochastic Differential Equation (SDE, 확률미분방정식)의 정의

Reference

[1] Särkkä, S., & Solin, A. (2019). Applied stochastic differential equations (Vol. 10). Cambridge University Press.

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