확률미분방정식(SDE) 의 평균(Mean) 과 공분산(Covariance), stochastic differential equation

Mean and Covariance of Stochastic Differential Equation

확률미분방정식 (SDE, Stochastic Differential Equation)의 Mean과 Covariance를 구해보겠습니다.

SDE는 기본적으로 아래와 같은 모습을 가졌지요.

\begin{align} d \mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) dt + \mathbf{G}(\mathbf{x}, t) d \mathbf{w} \end{align}

여기서 $\mathbf{x}(t)$ 는 column vector로 구성된 D-차원의 stochastic process 이고 $\mathbf{w}(t)$ 는 D-차원의 Brownian motion입니다. 예시로는 Langevin Dynamics 가 잇습니다.

아래와 같이 SDE의 평균과 공분산을 정의해봅시다.

\begin{align} \mathbf{m}(t)& = E[\mathbf{x}(t)] \\ \mathbf{\Sigma}(t)& = E\left[ \left(\mathbf{x}(t)-\mathbf{m}(t)\right) \left(\mathbf{x}(t)-\mathbf{m}(t)\right)^T \right]\end{align}

그러면 신기하게도 이 $\mathbf{m}(t) , \mathbf{\Sigma}(t)$ 는 아래의 미분 방정식을 만족합니다. [1]

\begin{align} \frac{d \mathbf{m}}{dt} &= E\left[ \mathbf{f}(\mathbf{x}, t) \right]\\ \frac{d\mathbf{\Sigma}}{dt} & = E\left[ \mathbf{f} (\mathbf{x}, t) (\mathbf{x} - \mathbf{m})^T \right] + E\left[ (\mathbf{x} - \mathbf{m})  \mathbf{f}^T (\mathbf{x}, t) \right] + E\left[\mathbf{G}(\mathbf{x}, t)\mathbf{G}^T(\mathbf{x}, t)\right]\end{align}

도움이 되는 글

Reference